正弦與餘弦

從 x 軸正向起、以弧度量出的角 $\theta$，在單位圓上對應點 $P = (\cos\theta, \sin\theta)$：餘弦是水平位置，正弦是高度。弧度對應單位圓上的弧長，因此 θ 也是從 (1, 0) 走過的弧長，兩個函數都在一圈後重複，週期為 $2\pi$。本頁追蹤一整圈，$0 \le \theta \le 2\pi$。

三個部分使用相同的長度單位。把 P 的高度向右帶過去，便畫出 θ 向右增加的正弦波；把水平位置向下帶過去，便畫出 θ 向下增加、垂掛在下方的餘弦波。從 (1, 0) 到 P 的黃色弧長為 θ，兩條 θ 軸上也標有相同的黃色長度：一圈攤開為 2π ≈ 6.283 個半徑。放平將垂掛的圖形繞圓心旋轉四分之一圈，使每個點位於橫座標 θ、高度 cos θ，並將 P 轉到領先四分之一圈的 Q。Q 的高度就是 P 的水平位置，因此餘弦波與往後 $\pi/2$ 的正弦波同高：也就是把正弦波向左平移 $\pi/2$。

P 每秒轉一弧度時，速度為 $(-\sin\theta, \cos\theta)$，長度 1，且垂直於半徑。向上的分量 cos θ 就是高度的變化率，也就是正弦波的斜率：θ=0 時為 1，θ=π 時為 −1，波峰與波谷時為 0。旋轉每 π/6 s 留下一個紅色標記。圓上的標記等距；投影卻在頂端與底端密集，因為那裡高度變化較慢。