Seno e coseno

Per un angolo $\theta$ misurato in radianti dal semiasse x positivo, il punto a quell’angolo sulla circonferenza unitaria è $P = (\cos\theta, \sin\theta)$: il coseno è la sua posizione orizzontale, il seno la sua altezza. Un radiante è una lunghezza sulla circonferenza unitaria, quindi θ è anche l’arco percorso da (1, 0) ed entrambe le funzioni si ripetono dopo un giro, un periodo di $2\pi$. Questa pagina segue un giro, $0 \le \theta \le 2\pi$.

Le tre parti condividono un’unità di lunghezza. L’altezza di P, trasportata a destra, traccia l’onda sinusoidale con θ verso destra; la sua posizione orizzontale, trasportata in basso, traccia l’onda cosinusoidale disposta sotto, con θ verso il basso. L’arco giallo da (1, 0) a P ha lunghezza θ e la stessa lunghezza gialla si trova lungo entrambi gli assi θ: un giro si srotola in 2π ≈ 6.283 raggi. Orizzontale ruota il grafico inferiore di un quarto di giro attorno al centro. Questa rotazione porta ogni suo punto all’altezza cos θ nella posizione θ e porta P in Q, il punto un quarto di giro avanti. L’altezza di Q è la posizione orizzontale di P, quindi il coseno è alla stessa altezza del seno $\pi/2$ più avanti: è il seno traslato di $\pi/2$ a sinistra.

Ruotando a un radiante al secondo, P ha velocità $(-\sin\theta, \cos\theta)$, di lunghezza 1 e perpendicolare al raggio. La sua componente verso l’alto, cos θ, è il tasso di variazione dell’altezza, cioè la pendenza della sinusoide: 1 in θ=0, −1 in θ=π e 0 nei massimi e minimi. Ruota lascia una tacca rossa ogni π/6 s. Le tacche sulla circonferenza sono equidistanti; le loro proiezioni si addensano vicino alla cima e al fondo, dove l’altezza varia lentamente.