Moto armonico semplice

Il moto armonico semplice è il moto di una massa sotto una forza di richiamo proporzionale allo spostamento: $m x'' = -k x$, oppure $x'' = -\omega^2 x$ con $\omega = \sqrt{k/m}$. Ogni soluzione è $x = A\cos(\omega t - \varphi)$ e il suo periodo $T = 2\pi/\omega$ non dipende dall’ampiezza A. Spesso si scrive anche $x = A\sin(\omega t + \varphi)$, con un’altra fase. La pagina ne mostra il motivo per una massa su una molla e la confronta con un pendolo.

I tre strati condividono un asse x. Sul piano delle fasi lo stato è il punto (x, v/ω). La sua velocità lì ha due componenti, v in orizzontale e a/ω = −ωx in verticale; insieme sono sempre perpendicolari al raggio e lunghe ω volte esso, quindi ogni punto del piano ruota attorno al centro alla stessa velocità ω, come un disco. La massa sul binario è la proiezione del punto sull’asse x, perciò x è un coseno; la distanza dal centro è l’ampiezza, la direzione è la fase e il quadrato del raggio per ½k è l’energia — la quota della molla è ½kx², quella del moto ½k(v/ω)². Dividere v per ω rende l’orbita una circonferenza: con v stesso sarebbe un’ellisse e il punto non ruoterebbe uniformemente. Il nastro di carta sotto il piano registra x nel tempo, con tacche ogni 0.1 s e un segno a ogni passaggio per lo zero; i passaggi avvengono ogni T/2 qualunque sia l’ampiezza e i segni di un secondo oscillatore si allineano con quelli del primo.

Il pendolo obbedisce a $s'' = -g\sin(s/L)$ con lunghezza d’arco $s = L\theta$: la forza non è proporzionale a s, quindi il moto non è armonico semplice. Le curve di energia sul piano (s, ṡ/ω₀) sono ovali, non circonferenze, e il periodo cresce con l’ampiezza, $T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$, circa $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$ per una piccola oscillazione $\theta_{\max}$ in radianti, dove $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$. Qui $\theta_{\max}$ è l’ampiezza stabilita dall’energia; coincide con l’angolo iniziale solo quando il pendolo parte da fermo. Il nastro del pendolo è una soluzione numerica, verificata rispetto a quel periodo esatto; quello della molla è la soluzione esatta. Oltre la separatrice tratteggiata un pendolo supera il punto più alto; questa pagina mantiene l’oscillazione entro 170°.