Smorzamento

Lo smorzamento è la perdita di energia che fa estinguere un’oscillazione. Per una massa su una molla con smorzatore, $m x'' + c x' + k x = 0$, scritto $x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$ con frequenza naturale $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ e rapporto di smorzamento $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$. Sotto 1 il moto è sottosmorzato (oscilla), a 1 ha smorzamento critico, sopra 1 è sovrasmorzato (rientra lentamente). Per una massa sospesa verticalmente, la gravità sposta solo la posizione di riposo verso il basso di mg/k; x si misura da quella posizione. La pagina rilascia la massa da ferma in x = 1 e chiede se più smorzamento la fermi prima.

A destra nell’immagine si trova il piano delle radici. Il prodotto delle due radici è $\omega_0^2$, quindi mentre il moto oscilla si trovano sulla circonferenza di raggio ω₀: la parte reale $-\zeta\omega_0$ determina il decadimento, quella immaginaria $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ la frequenza, quindi lo smorzamento rallenta anche ogni oscillazione. In ζ = 1 le radici coincidono in −ω₀. Oltre, una radice corre a sinistra e l’altra torna lentamente verso 0, circa $-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$ per ζ grande. La parte più lenta del moto decade come $e^{-\sigma t}$ e questo tasso di decadimento σ, la distanza della radice più a destra dall’asse immaginario, è massimo esattamente in ζ = 1. Su x(t) lo mostra la curva blu tratteggiata: l’inviluppo $\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$ nel caso sottosmorzato (la curva lo tocca tra i picchi), il termine della radice lenta nel caso sovrasmorzato.

«Fermarsi» richiede un criterio. La pagina usa $T_{1\%}$, il primo istante dopo il quale |x| resta definitivamente entro l’1 % dello spostamento iniziale. La striscia sotto x(t) ingrandisce la fascia. Gli estremi si trovano in $t_n = n\pi/\omega_d$ con $|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$, il che determina esattamente quali picchi escono dalla fascia; l’ultimo rientro viene poi trovato per bisezione sulla soluzione in forma chiusa, quindi il valore è numerico. Un ζ più piccolo dà un tempo di assestamento leggermente maggiore quando un picco in più esce dalla fascia, quindi la curva di $T_{1\%}$ in funzione di ζ presenta salti. Il suo minimo non è allo smorzamento critico ma in $\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$, dove l’unico superamento tocca esattamente −1 %: 0.667 T₀ contro 1.057 T₀. Lo smorzamento critico è il più rapido solo tra i moti che non attraversano mai x = 0 e solo partendo da fermi; una fascia diversa sposta ζ* (una fascia del 2 % dà circa 0.780).