Затухание

Затухание — потеря энергии, из-за которой колебания угасают. Для груза на пружине с демпфером $m x'' + c x' + k x = 0$, или $x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$, с собственной частотой $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ и коэффициентом затухания $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$. Ниже 1 режим недокритический (груз колеблется), при 1 — критический, выше 1 — сверхкритический (груз ползёт). При вертикальном подвесе тяжесть лишь сдвигает положение равновесия вниз на mg/k; x отсчитывается от него. Здесь груз отпускают из x = 1 без начальной скорости и проверяют, остановит ли более сильное затухание его раньше.

Справа изображена плоскость корней. Произведение двух корней равно $\omega_0^2$, поэтому в колебательном режиме они лежат на окружности радиуса ω₀: действительная часть $-\zeta\omega_0$ задаёт затухание, мнимая $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ — частоту, так что затухание также замедляет каждый цикл. При ζ = 1 корни сливаются в −ω₀. Дальше один уходит влево, другой медленно возвращается к 0, при больших ζ примерно как $-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$. Самая медленная часть движения затухает как $e^{-\sigma t}$, и эта скорость затухания σ — расстояние от самого правого корня до мнимой оси — максимальна ровно при ζ = 1. На графике x(t) её показывает синяя пунктирная кривая: огибающая $\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$ в недокритическом режиме (кривая касается её между своими пиками), член с медленным корнем — в сверхкритическом.

Для «остановки» нужен критерий. Здесь используется $T_{1\%}$ — самое раннее время, после которого |x| навсегда остаётся в пределах 1 % начального отклонения. Полоса под x(t) показывает эту область в увеличенном виде. Экстремумы находятся при $t_n = n\pi/\omega_d$ с $|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$, что точно определяет, какие пики выходят за полосу; последнее возвращение затем находят делением пополам по явному решению, поэтому показание численное. При уменьшении ζ время установления скачком возрастает, когда за полосу выходит ещё один пик, поэтому кривая зависимости $T_{1\%}$ от ζ имеет скачки. Минимум находится не в критическом случае, а при $\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$, где единственный перелёт касается ровно −1 %: 0.667 T₀ против 1.057 T₀. Критическое затухание самое быстрое лишь среди движений без пересечения x = 0 и только при нулевой начальной скорости; другая полоса меняет ζ* (для 2 % получается примерно 0.780).