Amortiguamiento

El amortiguamiento es la pérdida de energía que hace desaparecer una oscilación. Para una masa en un muelle con amortiguador, $m x'' + c x' + k x = 0$, que se escribe $x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$ con la frecuencia natural $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ y la razón de amortiguamiento $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$. Por debajo de 1, el movimiento es subamortiguado (oscila); en 1, críticamente amortiguado; por encima de 1, sobreamortiguado (regresa lentamente). Para una masa colgada verticalmente, la gravedad solo desplaza la posición de reposo hacia abajo en mg/k; x se mide desde ahí. La página suelta la masa desde el reposo en x = 1 y plantea si más amortiguamiento la detiene antes.

A la derecha está el plano de raíces. Las dos raíces tienen producto $\omega_0^2$, así que, mientras el movimiento oscila, están en la circunferencia de radio ω₀: la parte real $-\zeta\omega_0$ determina el decaimiento y la imaginaria $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$, la frecuencia; por eso el amortiguamiento también ralentiza cada oscilación. En ζ = 1, las raíces coinciden en −ω₀. Más allá, una raíz se va a la izquierda y la otra vuelve lentamente hacia 0, aproximadamente $-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$ para ζ grande. La parte más lenta del movimiento decae como $e^{-\sigma t}$, y esta tasa de decaimiento σ, la distancia de la raíz más a la derecha al eje imaginario, es máxima exactamente en ζ = 1. En x(t), la curva azul discontinua la muestra: la envolvente $\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$ en el régimen subamortiguado (la curva la toca entre sus picos) y el término de la raíz lenta en el sobreamortiguado.

«Detenerse» necesita un criterio. La página usa $T_{1\%}$, el primer instante a partir del cual |x| permanece para siempre dentro del 1 % del desplazamiento inicial. La franja debajo de x(t) amplía esa banda. Los extremos están en $t_n = n\pi/\omega_d$ con $|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$, lo que determina exactamente qué picos salen de la banda; el último regreso se encuentra por bisección sobre la solución en forma cerrada, así que la lectura es numérica. Un ζ menor da un tiempo de establecimiento algo mayor cada vez que un pico más sale de la banda, por lo que la curva de $T_{1\%}$ frente a ζ presenta saltos. Su mínimo no está en el amortiguamiento crítico, sino en $\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$, donde el único sobrepaso toca exactamente −1 %: 0.667 T₀ frente a 1.057 T₀. El amortiguamiento crítico es el más rápido solo entre los movimientos que nunca cruzan x = 0 y solo desde el reposo; otra banda cambia ζ* (una banda del 2 % da aproximadamente 0.780).