阻尼

阻尼是使振盪逐漸消失的能量損耗。帶阻尼器的彈簧上，物體滿足 $m x'' + c x' + k x = 0$，也可寫為 $x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$，其中自然頻率為 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$，阻尼比為 $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$。小於 1 時是欠阻尼（會振盪），等於 1 時是臨界阻尼，大於 1 時是過阻尼（緩慢回復）。若物體鉛直懸掛，重力只將靜止位置向下移 mg/k；x 從該位置量起。本頁讓物體從 x = 1 靜止釋放，探討更多阻尼是否使它更早停下。

畫面右方是根平面。兩根乘積為 $\omega_0^2$，因此在運動會振盪時，它們位於半徑 ω₀ 的圓上：實部 $-\zeta\omega_0$ 決定衰減，虛部 $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ 決定頻率，所以阻尼也會讓每次振盪變慢。ζ = 1 時，兩根在 −ω₀ 相遇。再往後，一根向左移，另一根緩慢回到 0 附近；ζ 很大時約為 $-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$。運動最慢的部分按 $e^{-\sigma t}$ 衰減，這個衰減率 σ，也就是最右方根到虛軸的距離，恰在 ζ = 1 時最大。x(t) 上的藍色虛線呈現它：欠阻尼時是包絡線 $\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$（曲線在峰與峰之間碰到它），過阻尼時是慢根項。

「停下」需要一個判準。本頁使用 $T_{1\%}$，也就是從該時刻起，|x| 永遠維持在初始位移 1 % 內的最早時間。x(t) 下方的帶狀視圖放大這個範圍。極值出現在 $t_n = n\pi/\omega_d$，且 $|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$，因此能精確判斷哪些峰越界；最後一次回到範圍內的時間，再對閉式解使用二分法求得，所以讀值是數值結果。ζ 稍小、使多一個峰越界時，安定時間就略晚，因此 $T_{1\%}$ 對 ζ 的曲線會跳躍。最小值不在臨界阻尼，而在 $\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$，此時唯一一次超越恰好碰到 −1 %：0.667 T₀，對比 1.057 T₀。臨界阻尼只有在不跨過 x = 0 的運動中才最快，而且僅限從靜止開始；改變容許範圍也會改變 ζ*（2 % 時約為 0.780）。