Amortissement

L’amortissement est la perte d’énergie qui fait disparaître une oscillation. Pour une masse sur un ressort muni d’un amortisseur, $m x'' + c x' + k x = 0$, ce qui s’écrit $x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$ avec la pulsation propre $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ et le taux d’amortissement $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$. En dessous de 1, le mouvement est sous-amorti (il oscille) ; à 1, l’amortissement est critique ; au-dessus de 1, le mouvement est suramorti (il revient lentement). Pour une masse suspendue verticalement, la gravité ne fait qu’abaisser la position d’équilibre de mg/k ; x est mesuré à partir de cette position. La page lâche la masse sans vitesse initiale en x = 1 et cherche si davantage d’amortissement l’arrête plus tôt.

À droite se trouve le plan des racines. Le produit des deux racines vaut $\omega_0^2$ : tant que le mouvement oscille, elles sont donc sur le cercle de rayon ω₀. La partie réelle $-\zeta\omega_0$ fixe la décroissance, la partie imaginaire $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ la pulsation : l’amortissement ralentit donc aussi chaque oscillation. À ζ = 1, les racines se rejoignent en −ω₀. Au-delà, l’une part vers la gauche et l’autre revient lentement vers 0, à environ $-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$ pour ζ grand. La composante la plus lente du mouvement décroît comme $e^{-\sigma t}$, et ce taux de décroissance σ, distance de la racine la plus à droite à l’axe imaginaire, est maximal exactement à ζ = 1. Sur x(t), la courbe bleue en pointillés le montre : l’enveloppe $\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$ en régime sous-amorti (la courbe la touche entre ses pics), le terme de la racine lente en régime suramorti.

« S’arrêter » demande une règle. La page utilise $T_{1\%}$, le premier instant après lequel |x| reste définitivement à moins de 1 % du déplacement initial. La bande sous x(t) agrandit cette zone. Les extrema se trouvent en $t_n = n\pi/\omega_d$ avec $|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$, ce qui détermine exactement quels pics sortent de la bande ; le dernier retour est ensuite trouvé par dichotomie sur la solution explicite, donc la valeur affichée est numérique. Un ζ plus petit donne un temps d’établissement légèrement plus tardif dès qu’un pic supplémentaire sort de la bande : la courbe de $T_{1\%}$ en fonction de ζ présente donc des sauts. Son minimum n’est pas à l’amortissement critique, mais à $\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$, où l’unique dépassement touche exactement −1 % : 0.667 T₀ contre 1.057 T₀. L’amortissement critique n’est le plus rapide que parmi les mouvements qui ne franchissent jamais x = 0, et seulement sans vitesse initiale ; une autre bande déplace ζ* (une bande de 2 % donne environ 0.780).