Sönüm

Sönüm, bir salınımı söndüren enerji kaybıdır. Sönümleyicili bir yaya bağlı kütle için $m x'' + c x' + k x = 0$ geçerlidir; doğal frekans $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ ve sönüm oranı $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$ kullanılarak $x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$ biçiminde yazılır. 1'in altında hareket az sönümlü (salınır), 1'de kritik sönümlü, 1'in üzerinde aşırı sönümlüdür (ağır ilerler). Dikey asılan kütlede yerçekimi yalnızca denge konumunu mg/k kadar aşağı taşır; x buradan ölçülür. Sayfa kütleyi x = 1'de durgun halde bırakır ve daha çok sönümün daha erken durdurup durdurmadığını sorar.

Görselin sağında kök düzlemi vardır. İki kökün çarpımı $\omega_0^2$ olduğundan hareket salınırken kökler ω₀ yarıçaplı çemberdedir: $-\zeta\omega_0$ gerçek kısmı sönmeyi, $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ sanal kısmı frekansı belirler; dolayısıyla sönüm her salınımı da yavaşlatır. ζ = 1'de kökler −ω₀'da birleşir. Sonrasında bir kök sola giderken diğeri 0'a doğru geri süzülür; büyük ζ için yaklaşık $-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$ olur. Hareketin en yavaş kısmı $e^{-\sigma t}$ gibi söner. En sağdaki kökün sanal eksene uzaklığı olan bu sönme hızı σ, tam ζ = 1'de en büyüktür. x(t) üzerindeki kesikli mavi eğri bunu gösterir: az sönümlü durumda $\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$ zarfını (eğri tepeleri arasında zarfa değer), aşırı sönümlü durumda yavaş kökün terimini.

“Durmak” için bir kural gerekir. Sayfa, |x| değerinin bırakılma büyüklüğünün %1'i içinde kalıcı olarak kaldığı en erken zaman olan $T_{1\%}$ değerini kullanır. x(t) altındaki şerit bandı büyütür. Ekstremumlar $|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$ ile $t_n = n\pi/\omega_d$ noktalarındadır; bu, hangi tepelerin bant dışına çıktığını tam belirler. Son dönüş, kapalı biçimli çözümde ikiye bölme yöntemiyle bulunur; dolayısıyla okuma sayısaldır. Bir tepe daha bant dışına çıktığında biraz daha küçük ζ, biraz daha geç yerleşme verir; bu yüzden ζ'ya göre $T_{1\%}$ eğrisinde sıçramalar olur. Minimum kritik sönümde değil, tek aşımın tam −%1'e değdiği $\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$ değerindedir: 1.057 T₀ yerine 0.667 T₀. Kritik sönüm yalnızca x = 0'ı hiç geçmeyen hareketler arasında ve yalnızca durgun başlangıçta en hızlıdır. Başka bir bant ζ* değerini değiştirir (%2 bant yaklaşık 0.780 verir).