감쇠

감쇠는 에너지 손실로 진동이 사라지는 현상입니다. 감쇠기가 달린 용수철에 매단 물체는 $m x'' + c x' + k x = 0$를 따릅니다. 고유진동수 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$와 감쇠비 $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$을 쓰면 $x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$입니다. 감쇠비가 1보다 작으면 진동하는 부족감쇠, 1이면 임계감쇠, 1보다 크면 천천히 돌아오는 과감쇠입니다. 수직으로 매단 경우 중력은 정지 위치를 mg/k만큼 낮출 뿐이며, x는 그 위치에서 잽니다. 이 페이지에서는 x = 1의 정지 상태에서 물체를 놓고, 감쇠가 강할수록 더 빨리 멈추는지 살펴봅니다.

그림 오른쪽은 근 평면입니다. 두 근의 곱이 $\omega_0^2$이므로 진동하는 동안에는 반지름 ω₀인 원 위에 있습니다. 실수부 $-\zeta\omega_0$는 감소를, 허수부 $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$는 진동수를 정하므로 감쇠는 한 번의 진동도 느리게 만듭니다. ζ = 1에서 두 근이 −ω₀에서 만납니다. 그 이후 한 근은 왼쪽으로 가고 다른 근은 0 쪽으로 천천히 돌아옵니다. ζ가 크면 후자는 약 $-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$입니다. 운동의 가장 느린 부분은 $e^{-\sigma t}$처럼 줄어듭니다. 이 감소율 σ는 가장 오른쪽 근과 허수축의 거리이며, 정확히 ζ = 1에서 최대입니다. x(t)의 파란 점선이 이를 보여 줍니다. 부족감쇠에서는 포락선 $\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$(곡선이 봉우리 사이에서 접함), 과감쇠에서는 느린 근의 항입니다.

‘멈춘다’에는 기준이 필요합니다. 이 페이지는 |x|가 초기 변위의 1 % 이내에 들어와 이후 계속 머무르기 시작하는 가장 이른 시각 $T_{1\%}$를 사용합니다. x(t) 아래의 띠는 이 범위를 확대한 것입니다. 극값의 시점 $t_n = n\pi/\omega_d$과 값 $|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$로 어느 봉우리가 띠를 벗어나는지 정확히 판정한 뒤, 닫힌형식 해에 이분법을 적용해 마지막 진입 시각을 구하므로 수치는 근삿값입니다. ζ가 조금 작아져 봉우리 하나가 더 띠를 벗어날 때마다 정착 시간이 늦어져, ζ에 따른 $T_{1\%}$ 곡선에는 점프가 생깁니다. 최솟값은 임계감쇠가 아니라 $\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$에서 나타납니다. 한 번의 지나침이 정확히 −1 %에 닿는 경우로, 1.057 T₀ 대신 0.667 T₀입니다. 임계감쇠가 가장 빠른 것은 x = 0을 전혀 넘지 않는 운동 중에서, 정지 상태로 출발할 때뿐입니다. 띠의 폭을 바꾸면 ζ*도 달라집니다. 2 % 띠에서는 약 0.780입니다.