단순 조화 운동

단순 조화 운동은 변위에 비례하는 복원력이 작용하는 물체의 운동입니다. $m x'' = -k x$, 또는 $\omega = \sqrt{k/m}$일 때 $x'' = -\omega^2 x$으로 나타냅니다. 모든 해는 $x = A\cos(\omega t - \varphi)$이며, 주기 $T = 2\pi/\omega$은 진폭 A에 의존하지 않습니다. 다른 위상을 사용해 $x = A\sin(\omega t + \varphi)$로 쓰기도 합니다. 이 페이지는 용수철에 매단 물체로 그 이유를 보여 주고 진자와 비교합니다.

세 층은 같은 x축을 공유합니다. 위상 평면에서 상태는 점 (x, v/ω)입니다. 이 점의 속도는 가로 성분 v와 세로 성분 a/ω = −ωx로 이루어집니다. 합치면 항상 반지름에 수직이고 길이는 반지름의 ω배이므로, 평면의 모든 점이 레코드판처럼 같은 각속도 ω로 중심 주위를 돕니다. 레일 위 물체는 이 점을 x축에 비춘 그림자이므로 x가 코사인함수가 됩니다. 중심까지의 거리는 진폭, 방향은 위상이며, 반지름의 제곱에 ½k를 곱하면 에너지입니다. 용수철의 몫은 ½kx², 운동의 몫은 ½k(v/ω)²입니다. v를 ω로 나누기 때문에 궤도가 원이 됩니다. v를 그대로 쓰면 타원이며 점이 균일하게 회전하지 않습니다. 평면 아래 기록지는 시간에 따른 x를 기록합니다. 0.1 s마다 눈금이 있고 영점을 통과할 때마다 표시합니다. 진폭과 무관하게 T/2마다 통과하며, 두 번째 진동계의 표시도 첫 번째와 나란합니다.

진자는 호의 길이 $s = L\theta$에 대해 $s'' = -g\sin(s/L)$를 따릅니다. 힘이 s에 비례하지 않으므로 단순 조화 운동이 아닙니다. 평면 (s, ṡ/ω₀)에서 에너지 곡선은 원이 아니라 달걀 모양이며, 진폭이 커지면 주기 $T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$도 늘어납니다. 라디안으로 나타낸 작은 진폭 $\theta_{\max}$에서는 대략 $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$이고, $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$입니다. 여기서 $\theta_{\max}$은 에너지로 정해지는 진폭이며, 추를 정지 상태에서 놓을 때만 초기 각도와 같습니다. 진자의 기록은 수치 해로, 이 정확한 주기와 대조해 확인합니다. 용수철은 정확한 해를 씁니다. 점선 분리곡선 너머에서는 진자가 꼭대기를 넘어 회전합니다. 이 페이지는 진폭을 170° 이내로 제한합니다.