Movimento harmónico simples

O movimento harmónico simples é o movimento de uma massa sob uma força restauradora proporcional ao deslocamento: $m x'' = -k x$, ou $x'' = -\omega^2 x$, com $\omega = \sqrt{k/m}$. Todas as soluções têm a forma $x = A\cos(\omega t - \varphi)$, e o período $T = 2\pi/\omega$ não depende da amplitude A. Também se escreve frequentemente $x = A\sin(\omega t + \varphi)$, com outra fase. A página mostra porquê, para uma massa presa a uma mola, e compara com um pêndulo.

As três camadas partilham o eixo x. No plano de fase, o estado é o ponto (x, v/ω). A sua velocidade nesse plano tem duas componentes: v na horizontal e a/ω = −ωx na vertical; juntas, são sempre perpendiculares ao raio e têm ω vezes o seu comprimento, pelo que todos os pontos do plano rodam em torno do centro à mesma taxa ω, como um disco. A massa na calha é a projeção do ponto no eixo x, razão pela qual x é um cosseno; a distância ao centro é a amplitude, a direção é a fase, e o quadrado do raio multiplicado por ½k é a energia — a parte da mola é ½kx² e a do movimento é ½k(v/ω)². Dividir v por ω torna a órbita circular: com o próprio v seria uma elipse, e o ponto não rodaria uniformemente. A fita de papel por baixo do plano regista x em função do tempo, com traços a cada 0.1 s e uma marca em cada passagem pelo zero; as passagens ocorrem a cada T/2, qualquer que seja a amplitude, e as marcas de um segundo oscilador alinham-se com as do primeiro.

O pêndulo obedece a $s'' = -g\sin(s/L)$, com comprimento de arco $s = L\theta$: a força não é proporcional a s, pelo que o movimento não é harmónico simples. As curvas de energia no plano (s, ṡ/ω₀) são ovais, não circunferências, e o período aumenta com a amplitude, $T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$, aproximadamente $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$ para uma pequena amplitude $\theta_{\max}$ em radianos, onde $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$. Aqui, $\theta_{\max}$ é a amplitude determinada pela energia; só é igual ao ângulo inicial quando o pêndulo parte do repouso. A fita do pêndulo é uma solução numérica, verificada por comparação com esse período exato; a da mola é a solução exata. Para além da separatriz tracejada, o pêndulo passa por cima do ponto mais alto; esta página limita a oscilação a 170°.