Amortecimento

O amortecimento é a perda de energia que faz uma oscilação extinguir-se. Para uma massa presa a uma mola com amortecedor, $m x'' + c x' + k x = 0$, que se escreve $x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$, com frequência natural $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ e razão de amortecimento $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$. Abaixo de 1, o movimento é subamortecido (oscila); em 1, criticamente amortecido; acima de 1, sobreamortecido (regressa lentamente). Numa massa suspensa verticalmente, a gravidade apenas desloca a posição de equilíbrio para baixo em mg/k; x mede-se a partir daí. A página larga a massa do repouso em x = 1 e pergunta se mais amortecimento a faz parar mais cedo.

À direita da imagem está o plano das raízes. O produto das duas raízes é $\omega_0^2$, pelo que, enquanto o movimento oscila, elas estão na circunferência de raio ω₀: a parte real $-\zeta\omega_0$ determina o decaimento e a parte imaginária $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$, a frequência; por isso, o amortecimento também torna cada oscilação mais lenta. Em ζ = 1, as raízes coincidem em −ω₀. Depois, uma raiz avança para a esquerda e a outra regressa lentamente a 0, sendo aproximadamente $-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$ para ζ grande. A parte mais lenta do movimento decai como $e^{-\sigma t}$, e esta taxa de decaimento σ, a distância da raiz mais à direita ao eixo imaginário, é máxima exatamente em ζ = 1. Em x(t), a curva azul tracejada mostra-a: a envolvente $\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$ no regime subamortecido (a curva toca-lhe entre os seus picos) e o termo da raiz lenta no regime sobreamortecido.

«Parar» precisa de uma regra. A página usa $T_{1\%}$, o primeiro instante após o qual |x| permanece definitivamente dentro de 1% do deslocamento inicial. A faixa por baixo de x(t) amplia esse intervalo. Os extremos ocorrem em $t_n = n\pi/\omega_d$, com $|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$, o que determina exatamente que picos saem da faixa; o último regresso é então encontrado por bisseção na solução em forma fechada, pelo que a leitura é numérica. Um ζ menor dá um tempo de estabelecimento ligeiramente posterior sempre que mais um pico sai da faixa, pelo que a curva de $T_{1\%}$ em função de ζ tem saltos. O seu mínimo não ocorre no amortecimento crítico, mas em $\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$, quando a única ultrapassagem do equilíbrio toca exatamente −1%: 0.667 T₀ contra 1.057 T₀. O amortecimento crítico só é o mais rápido entre os movimentos que nunca atravessam x = 0, e apenas partindo do repouso; outra faixa altera ζ* (uma faixa de 2% dá cerca de 0.780).