Redaman

Redaman adalah hilangnya energi yang membuat osilasi mereda. Untuk benda bermassa pada pegas dengan peredam, $m x'' + c x' + k x = 0$, ditulis $x'' + 2\zeta\omega_0 x' + \omega_0^2 x = 0$ dengan frekuensi alami $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ dan rasio redaman $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$. Di bawah 1 geraknya mengalami redaman kurang (berayun), pada 1 redaman kritis, di atas 1 redaman berlebih (merayap). Untuk benda yang tergantung vertikal, gravitasi hanya menggeser posisi diam ke bawah sebesar mg/k; x diukur dari sana. Halaman ini melepaskan benda dari diam pada x = 1 dan menanyakan apakah redaman lebih besar menghentikannya lebih cepat.

Di kanan gambar terdapat bidang akar. Hasil kali kedua akar adalah $\omega_0^2$, jadi saat gerak berayun, akar terletak pada lingkaran berjari-jari ω₀: bagian real $-\zeta\omega_0$ menentukan peluruhan, bagian imajiner $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ menentukan frekuensi, sehingga redaman juga memperlambat tiap ayunan. Pada ζ = 1, akar bertemu di −ω₀. Setelah itu, satu akar melaju ke kiri dan yang lain merayap kembali menuju 0, sekitar $-\omega_0/(2\zeta) = -k/c$ untuk ζ besar. Bagian gerak yang paling lambat meluruh seperti $e^{-\sigma t}$, dan laju peluruhan σ ini, jarak akar paling kanan dari sumbu imajiner, terbesar tepat pada ζ = 1. Pada x(t), kurva biru putus-putus menunjukkannya: selubung $\pm e^{-\zeta\omega_0 t}/\sqrt{1-\zeta^2}$ untuk redaman kurang (kurva menyentuhnya di antara puncak), suku akar lambat untuk redaman berlebih.

“Berhenti” memerlukan aturan. Halaman ini memakai $T_{1\%}$, waktu paling awal setelahnya |x| tetap dalam 1 % simpangan awal selamanya. Pita di bawah x(t) memperbesar daerah itu. Ekstremum berada pada $t_n = n\pi/\omega_d$ dengan $|x(t_n)| = e^{-\zeta\omega_0 t_n}$, yang menentukan secara eksak puncak mana yang keluar dari pita; kepulangan terakhir lalu ditemukan dengan biseksi pada solusi bentuk tertutup, jadi bacaannya numerik. ζ yang lebih kecil memberikan waktu tunak sedikit lebih lama setiap kali satu puncak tambahan keluar dari pita, sehingga kurva $T_{1\%}$ terhadap ζ melompat. Minimumnya bukan pada redaman kritis, melainkan pada $\zeta^* = \ln 100/\sqrt{\pi^2 + \ln^2 100} \approx 0.826$, saat satu pelampauan menyentuh tepat −1 %: 0.667 T₀ dibanding 1.057 T₀. Redaman kritis hanya paling cepat di antara gerak yang tidak pernah melintasi x = 0, dan hanya dari diam; pita lain menggeser ζ* (pita 2 % menghasilkan sekitar 0.780).