Простые гармонические колебания

Гармонические колебания — движение груза под действием возвращающей силы, пропорциональной смещению: $m x'' = -k x$, или $x'' = -\omega^2 x$ при $\omega = \sqrt{k/m}$. Любое решение имеет вид $x = A\cos(\omega t - \varphi)$, а его период $T = 2\pi/\omega$ не зависит от амплитуды A. Часто его также записывают как $x = A\sin(\omega t + \varphi)$, выбрав другую фазу. Здесь это показано на грузе с пружиной и сопоставлено с маятником.

Три слоя используют общую ось x. На фазовой плоскости состояние — точка (x, v/ω). Её скорость складывается из горизонтальной v и вертикальной a/ω = −ωx. Их сумма всегда перпендикулярна радиусу и в ω раз больше его длины, поэтому каждая точка плоскости вращается вокруг центра с одной скоростью ω, как пластинка. Груз на направляющей — проекция точки на ось x; поэтому x меняется по косинусу. Расстояние от центра — амплитуда, направление — фаза, а квадрат радиуса, умноженный на ½k, — энергия: доля пружины равна ½kx², доля движения — ½k(v/ω)². Именно деление v на ω превращает орбиту в окружность: с самой v получился бы эллипс, и точка вращалась бы неравномерно. Бумажная лента под плоскостью записывает x в зависимости от времени, с рисками каждые 0.1 с и отметкой при каждом переходе через ноль. Переходы происходят каждые T/2 при любой амплитуде; отметки второго осциллятора совпадают с отметками первого.

Маятник подчиняется $s'' = -g\sin(s/L)$, где длина дуги равна $s = L\theta$. Сила не пропорциональна s, поэтому колебания не гармонические. Энергетические кривые на плоскости (s, ṡ/ω₀) — овалы, а не окружности; период растёт с размахом: $T = T_0/\mathrm{AGM}(1, \cos(\theta_{\max}/2))$, приблизительно $T_0(1 + \theta_{\max}^2/16)$ при малом размахе $\theta_{\max}$ в радианах, где $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$. Здесь $\theta_{\max}$ — размах, определяемый энергией; он равен начальному углу, только если маятник отпущен из покоя. Лента маятника показывает численное решение, проверенное по точному периоду; лента пружины — точное решение. За пунктирной сепаратрисой маятник переворачивается через верх; здесь размах ограничен 170°.