Sinus et cosinus

Pour un angle $\theta$ mesuré en radians depuis l’axe positif des x, le point de cet angle sur le cercle trigonométrique est $P = (\cos\theta, \sin\theta)$ : le cosinus est son abscisse, le sinus sa hauteur. Un radian correspond à une longueur sur le cercle unité : θ est donc aussi l’arc parcouru depuis (1, 0), et les deux fonctions se répètent après un tour, une période de $2\pi$. Cette page suit un tour, $0 \le \theta \le 2\pi$.

Les trois parties partagent la même unité de longueur. La hauteur de P, reportée horizontalement, trace l’onde du sinus avec θ vers la droite ; sa position horizontale, reportée vers le bas, trace l’onde du cosinus suspendue avec θ vers le bas. L’arc jaune de (1, 0) à P a pour longueur θ, et cette même longueur jaune se trouve sur les deux axes θ : un tour se déroule en 2π ≈ 6.283 rayons. À plat tourne le graphique suspendu d’un quart de tour autour du centre. Cette rotation place chaque point du graphique à la hauteur cos θ en position θ, et envoie P sur Q, le point un quart de tour en avance. La hauteur de Q est l’abscisse de P ; l’onde du cosinus est donc à la même hauteur que celle du sinus $\pi/2$ plus loin : c’est le sinus décalé de $\pi/2$ vers la gauche.

En tournant à un radian par seconde, P a une vitesse $(-\sin\theta, \cos\theta)$, de norme 1 et perpendiculaire au rayon. Sa composante verticale, cos θ, est le taux de variation de la hauteur, donc la pente de la sinusoïde : 1 en θ=0, −1 en θ=π et 0 aux maxima et minima. Tourner laisse un trait rouge tous les π/6 s. Les traits sur le cercle sont régulièrement espacés ; leurs projections se regroupent près du haut et du bas, où la hauteur change lentement.