Circonferenza goniometrica: visualizzazione interattiva

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La circonferenza goniometrica in questa visualizzazione

La circonferenza unitaria ha raggio 1 e centro nell’origine, $x^2 + y^2 = 1$ . Un angolo $\theta$ si misura dal semiasse x positivo, in senso antiorario se positivo; termina in un punto P della circonferenza e coseno e seno sono definiti come le coordinate di quel punto. Questo li definisce per ogni angolo — ottuso, negativo o maggiore di un giro — non solo per gli angoli acuti di un triangolo rettangolo. Dove $\cos\theta \ne 0$ , la tangente è il loro rapporto. La pagina scrive ogni angolo in radianti e gradi, $\theta = 2\pi/3 = 120^\circ$ .

La definizione e l’equazione della circonferenza

P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Nell’immagine i due cateti del triangolo di riferimento, da O a $(\cos\theta, 0)$ e da lì in alto o in basso fino a P, sono cos θ e sin θ come spostamenti orientati: positivi a destra e in alto, negativi a sinistra e in basso. La retta OP incontra la verticale $x = 1$ in T $= (1, \tan\theta)$ , quindi tan θ è la pendenza di OP; quando θ è $\pi/2 + n\pi$ , le due rette sono parallele e tan θ non esiste. T è sulla semiretta OP quando cos θ > 0 e dietro O, sul suo prolungamento all’indietro, quando cos θ < 0 — cioè quando sec θ < 0; tan θ può allora avere entrambi i segni (a 210° vale √3/3). Poiché P appartiene alla circonferenza, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ è proprio la sua equazione. Riflettere P rispetto agli assi e all’origine dà i punti di $\pi - \theta$ , $\pi + \theta$ e $-\theta$ : lo stesso triangolo con altri segni, da cui vengono formule di riduzione come $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ . Angoli che differiscono per giri interi (angoli coterminali, come $13\pi/6$ e $\pi/6$ ) arrivano allo stesso punto e condividono tutti i valori.

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Cosa osservare

I valori esatti dei 16 angoli notevoli (multipli di 30° e 45°) vengono da due triangoli: metà triangolo equilatero per 30° e 60°, il triangolo rettangolo isoscele per 45°. Con un angolo di riferimento di 30°, 45° o 60°, il triangolo da cui deriva il valore compare automaticamente: dà il valore assoluto (a 30°, la corda PP′ è 1 e |sin θ| ne è la metà) e il quadrante dà il segno. Un angolo digitato come frazione di π o in gradi resta esatto; forme chiuse come $\sqrt{3}/2$ compaiono solo negli angoli notevoli e ogni altro valore è un decimale indicato con ≈.
Con Tutte e sei, U è dove la retta OP incontra $y = 1$ : cot θ è il segmento su y = 1 fino a U e sec θ e csc θ sono le lunghezze orientate OT e OU — negative quando T o U sono dietro O, sul prolungamento all’indietro di OP. tan e sec non esistono per $\pi/2 + n\pi$ , cot e csc per $n\pi$ .
La scala è fissa: non viene mai scelta in base al valore di tan. Quando T (o U) supera il bordo del grafico, una freccia sul bordo lo indica e ne dà la posizione; puoi comunque ingrandire, ugualmente su entrambi gli assi. Oltre un giro, l’arco dell’angolo si allarga a spirale per mostrare l’avvolgimento — l’allargamento in sé non significa nulla — e oltre tre giri viene disegnato solo l’ultimo, contando gli altri («+4 giri», «−2 giri»).

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Comandi

I tasti valore 0°, 30°, 45°, 60° e 90° impostano l’angolo esattamente. Vicino a un angolo notevole, P trascinato vi si aggancia; continuando a trascinare si sgancia. Un clic sul punto di un angolo notevole porta lì P per il percorso più breve. Puoi digitare l’angolo in radianti (2π/3 oppure un decimale come 2.0944, che resta un decimale) o in gradi (120°), da −20π a 20π; le frecce di P avanzano di un grado.
Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori: ← → passano tra gli angoli notevoli, H nasconde tutti i valori lasciando visibile l’immagine.

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Concetti collegati

C02Seno e coseno
C03Funzione sinusoidale
B08RadianteIn programma
B04Teorema di PitagoraIn programma

Per approfondire: Wikipedia: Unit circle (Inglese); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle (Inglese).