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Trigonometria e pré-cálculo · Circunferência trigonométrica

Circunferência trigonométrica

A circunferência trigonométrica tem raio 1 e centro na origem; o seu ponto de ângulo θ é (cos θ, sin θ). Arraste-o e veja os sinais, os valores notáveis e a tangente surgirem da imagem.

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A circunferência trigonométrica nesta visualização

A circunferência trigonométrica tem raio 1 e centro na origem, x2+y2=1x^2 + y^2 = 1. Um ângulo θ\theta mede-se a partir do semieixo positivo dos x, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio quando é positivo; termina num ponto P da circunferência, e o cosseno e o seno são definidos como as coordenadas desse ponto. Assim, ficam definidos para qualquer ângulo — obtuso, negativo ou superior a uma volta completa — e não apenas para os ângulos agudos de um triângulo retângulo. Quando cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0, a tangente é o quociente entre seno e cosseno. A página escreve cada ângulo em radianos e em graus, θ=2π/3=120∘\theta = 2\pi/3 = 120^\circ.

A definição e a equação do círculo
P=(cos⁡θ, sin⁡θ),tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cos⁡2θ+sin⁡2θ=1P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Na imagem, os dois catetos do triângulo de referência, de O a (cos⁡θ,0)(\cos\theta, 0) e daí para cima ou para baixo até P, representam cos θ e sin θ como deslocamentos orientados: positivos para a direita e para cima, negativos para a esquerda e para baixo. A reta OP encontra a reta vertical x=1x = 1 em T =(1,tan⁡θ)= (1, \tan\theta), pelo que tan θ é o declive de OP; quando θ é π/2+nπ\pi/2 + n\pi, as duas retas são paralelas e tan θ não existe. T fica na semirreta OP quando cos θ > 0 e atrás de O, no prolongamento em sentido oposto, quando cos θ < 0 — isto é, quando sec θ < 0; tan θ pode então ter qualquer dos sinais (a 210°, vale √3/3). Como P pertence à circunferência, cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 é a própria equação do círculo. Refletir P nos eixos e na origem dá os pontos de π−θ\pi - \theta, π+θ\pi + \theta e −θ-\theta: o mesmo triângulo com outros sinais, de onde vêm fórmulas de redução como sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta. Ângulos que diferem por voltas inteiras (ângulos coterminais, como 13π/613\pi/6 e π/6\pi/6) terminam no mesmo ponto e têm todos os valores em comum.

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O que observar

  • Os valores exatos dos 16 ângulos notáveis (múltiplos de 30° e 45°) vêm de dois triângulos: metade de um triângulo equilátero para 30° e 60°, e o triângulo retângulo isósceles para 45°. Com um ângulo de referência de 30°, 45° ou 60°, o triângulo que explica o valor aparece automaticamente: dá o valor absoluto (a 30°, a corda PP′ mede 1 e |sin θ| é metade disso), enquanto o quadrante dá o sinal. Um ângulo introduzido como fração de π ou em graus é guardado de forma exata; expressões fechadas como 3/2\sqrt{3}/2 só aparecem nos ângulos notáveis, e todos os outros valores são decimais assinalados com ≈.
  • Com As seis funções, U é o ponto onde a reta OP encontra y=1y = 1: cot θ é o segmento de y = 1 até U, e sec θ e csc θ são os comprimentos com sinal OT e OU — negativos quando T ou U ficam atrás de O, no prolongamento oposto de OP. tan e sec não existem em π/2+nπ\pi/2 + n\pi, e cot e csc em nπn\pi.
  • A escala é fixa: nunca é escolhida a partir do valor da tangente. Quando T (ou U) fica fora do gráfico, uma seta na margem aponta para ele e indica a sua posição; pode continuar a ampliar, igualmente nos dois eixos. Após uma volta, o arco do ângulo alarga-se em espiral para mostrar as voltas — o alargamento em si não tem significado — e, após três voltas, só se desenha a última, contando as restantes («+4 voltas», «−2 voltas»).
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Controlos

  • As teclas de valores 0°, 30°, 45°, 60° e 90° definem o ângulo de forma exata. Perto de um ângulo notável, P encaixa ao ser arrastado; continue a arrastar para o soltar. Clicar no ponto de um ângulo notável leva P até lá pelo caminho mais curto. Pode introduzir o ângulo em radianos (2π/3 ou um decimal como 2.0944, que se mantém decimal) ou em graus (120°), de −20π a 20π; as setas de P avançam um grau de cada vez.
  • O modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores: ← → percorrem os ângulos notáveis, e H oculta todos os valores mantendo a imagem.
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Relacionados

Para saber mais: Wikipédia: Unit circle (Inglês); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle (Inglês).