Lingkaran Satuan: Visualisasi Interaktif

01

Lingkaran satuan dalam visualisasi ini

Lingkaran satuan adalah lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik asal, $x^2 + y^2 = 1$ . Sudut $\theta$ diukur dari sumbu x positif, berlawanan arah jarum jam jika positif; berakhir pada titik P di lingkaran, dan kosinus serta sinus didefinisikan sebagai koordinat titik itu. Ini mendefinisikannya untuk setiap sudut — tumpul, negatif, atau lebih dari satu putaran penuh — bukan hanya sudut lancip segitiga siku-siku. Saat $\cos\theta \ne 0$ , tangen adalah hasil baginya. Halaman ini menulis setiap sudut dalam radian dan derajat, $\theta = 2\pi/3 = 120^\circ$ .

Definisi, dan persamaan lingkaran

P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Pada gambar, dua kaki segitiga acuan, dari O ke $(\cos\theta, 0)$ lalu naik atau turun ke P, adalah cos θ dan sin θ sebagai perpindahan berarah: positif ke kanan dan atas, negatif ke kiri dan bawah. Garis OP bertemu garis vertikal $x = 1$ di T $= (1, \tan\theta)$ , sehingga tan θ adalah kemiringan OP; saat θ adalah $\pi/2 + n\pi$ , kedua garis sejajar dan tan θ tidak ada. T berada pada sinar OP saat cos θ > 0 dan di belakang O, pada perpanjangan ke belakangnya, saat cos θ < 0 — yaitu saat sec θ < 0; tan θ lalu dapat bertanda apa pun (pada 210° nilainya √3/3). Karena P pada lingkaran, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ adalah persamaan lingkaran itu sendiri. Mencerminkan P terhadap sumbu dan titik asal memberi titik $\pi - \theta$ , $\pi + \theta$ , dan $-\theta$ : segitiga sama dengan tanda berbeda, asal rumus reduksi seperti $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ . Sudut yang berbeda sejumlah putaran penuh (sudut koterminal, seperti $13\pi/6$ dan $\pi/6$ ) berakhir pada titik sama dan memiliki semua nilai yang sama.

02

Hal yang perlu diperhatikan

Nilai eksak 16 sudut istimewa (kelipatan 30° dan 45°) berasal dari dua segitiga: setengah segitiga sama sisi untuk 30° dan 60°, serta segitiga siku-siku sama kaki untuk 45°. Pada sudut acuan 30°, 45°, atau 60°, segitiga di balik nilainya muncul otomatis: memberi nilai mutlak (pada 30°, tali busur PP′ adalah 1 dan |sin θ| separuhnya), dan kuadran memberi tanda. Sudut yang diketik sebagai pecahan π atau dalam derajat dipertahankan eksak; bentuk tertutup seperti $\sqrt{3}/2$ hanya muncul pada sudut istimewa, dan setiap nilai lain berupa desimal bertanda ≈.
Dengan Keenamnya, U adalah tempat garis OP bertemu $y = 1$ : cot θ adalah ruas y = 1 hingga U, dan sec θ serta csc θ adalah panjang bertanda OT dan OU — negatif saat T atau U berada di belakang O pada perpanjangan OP ke belakang. tan dan sec tidak ada pada $\pi/2 + n\pi$ , cot dan csc pada $n\pi$ .
Skalanya tetap: tidak pernah dipilih dari nilai tan. Saat T (atau U) melewati tepi grafik, panah di tepi menunjuk ke sana dan memberi posisinya; Anda tetap dapat memperbesar, sama pada kedua sumbu. Setelah satu putaran, busur sudut berspiral ke luar untuk menunjukkan lilitan — pelebarannya sendiri tidak bermakna — dan setelah tiga putaran hanya putaran terakhir digambar, sisanya dihitung (“+4 putaran”, “−2 putaran”).

03

Kontrol

Tombol nilai 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90° menetapkan sudut secara eksak. Di dekat sudut istimewa, P yang diseret melekat; lanjutkan menyeret untuk melepaskannya. Klik titik sudut istimewa membawa P ke sana melalui arah terpendek. Sudut dapat diketik dalam radian (2π/3, atau desimal seperti 2.0944, yang tetap desimal) atau dalam derajat (120°), dari −20π hingga 20π; tombol panah P melangkah satu derajat.
Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor: ← → beralih antar sudut istimewa, H menyembunyikan setiap nilai sementara gambar tetap terlihat.

04

Terkait

C02Sinus dan kosinus
C03Fungsi sinusoidal
B08RadianDirencanakan
B04Teorema PythagorasDirencanakan

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Unit circle (Bahasa Inggris); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle (Bahasa Inggris).