Math

Trigonometri ve Analize Hazırlık · Birim çember

Birim çember

Birim çember orijin merkezli, yarıçapı 1 olan çemberdir; θ açısındaki noktası (cos θ, sin θ)'dır. Sürükleyin; işaretlerin, özel değerlerin ve tan'ın görselden çıkmasını izleyin.

01

Bu görselleştirmede birim çember

Birim çember, orijin merkezli 1 yarıçaplı çemberdir: x2+y2=1x^2 + y^2 = 1. θ\theta açısı pozitif x ekseninden, pozitifken saat yönünün tersine ölçülür ve çemberin P noktasında biter. Kosinüs ve sinüs bu noktanın koordinatları olarak tanımlanır. Böylece yalnızca dik üçgenin dar açıları için değil, geniş, negatif veya bir tam turdan büyük her açı için tanımlanırlar. cos⁡θ≠0\cos\theta \ne 0 olduğunda tanjant onların oranıdır. Sayfa her açıyı radyan ve dereceyle yazar: θ=2π/3=120∘\theta = 2\pi/3 = 120^\circ.

Tanım ve çember denklemi
P=(cos⁡θ, sin⁡θ),tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ,cos⁡2θ+sin⁡2θ=1P = (\cos\theta,\ \sin\theta), \qquad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Görselde referans üçgeninin O'dan (cos⁡θ,0)(\cos\theta, 0) noktasına, oradan yukarı veya aşağı P'ye giden iki dik kenarı, yönlü yer değiştirme olarak cos θ ve sin θ'dır: sağa ve yukarı pozitif, sola ve aşağı negatif. OP doğrusu dikey x=1x = 1 doğrusunu T =(1,tan⁡θ)= (1, \tan\theta) noktasında keser; tan θ, OP'nin eğimidir. θ, π/2+nπ\pi/2 + n\pi olduğunda iki doğru paraleldir ve tan θ yoktur. cos θ > 0 iken T, OP ışınında; cos θ < 0, yani sec θ < 0 iken O'nun arkasındaki uzantıdadır. O durumda tan θ iki işareti de alabilir (210°'de √3/3). P çember üzerinde olduğundan cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 çemberin kendi denklemidir. P'nin eksenlere ve orijine göre yansımaları π−θ\pi - \theta, π+θ\pi + \theta, −θ-\theta noktalarını verir: farklı işaretlerle aynı üçgen. sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta gibi indirgeme formülleri buradan gelir. Tam tur farkla açılar (13π/613\pi/6 ve π/6\pi/6 gibi eş sonlu açılar) aynı noktada biter; tüm değerleri aynıdır.

02

Dikkat edilecekler

  • 16 özel açının (30° ve 45° katları) tam değerleri iki üçgenden gelir: 30° ve 60° için eşkenar üçgenin yarısı, 45° için ikizkenar dik üçgen. 30°, 45° veya 60° referans açısında değeri veren üçgen otomatik görünür: mutlak değeri verir (30°'de PP′ kirişi 1, |sin θ| yarısıdır); bölge işareti verir. π kesri veya dereceyle yazılan açı tam tutulur; 3/2\sqrt{3}/2 gibi kapalı biçimler yalnızca özel açılarda görünür. Diğer tüm değerler ≈ işaretli ondalıklardır.
  • Altısı da ile U, OP doğrusunun y=1y = 1 ile kesişimidir. cot θ, y = 1 üzerinde U'ya kadar parçadır; sec θ ve csc θ, OT ve OU işaretli uzunluklarıdır. T veya U, OP'nin geriye uzantısında O arkasındaysa negatiftirler. π/2+nπ\pi/2 + n\pi için tan ve sec, nπn\pi için cot ve csc yoktur.
  • Ölçek sabittir; tan değerine göre hiç seçilmez. T (veya U) grafiğin dışındaysa kenardaki ok onu gösterip konumunu verir. Yine de iki ekseni eşit yakınlaştırabilirsiniz. Bir turdan sonra açı yayı sarımı göstermek için dışa spirallenir; genişleme kendi başına anlam taşımaz. Üç turdan sonra yalnızca son tur çizilir, kalanı sayılır (“+4 tur”, “−2 tur”).
03

Kontroller

  • 0°, 30°, 45°, 60° ve 90° tuşları açıyı tam ayarlar. Sürüklenen P özel açı yakınında tutunur; sürüklemeyi sürdürünce ayrılır. Özel açı noktasına tıklamak P'yi kısa yoldan oraya götürür. Açı radyanla (2π/3 veya ondalık olarak saklanan 2.0944 gibi sayı) ya da dereceyle (120°), −20π ile 20π arasında yazılabilir. P'nin ok tuşları birer derece ilerler.
  • Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar: ← → özel açılarda ilerler, H görsel kalırken her değeri gizler.
04

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Unit circle (İngilizce); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3 Unit Circle (İngilizce).