Derivata

La derivata in questa visualizzazione

Cosa osservare

• Su $x^2$, $x^3 - 3x$, $\sin x$ e $e^x$, le pendenze da entrambi i lati tendono allo stesso numero.
• $|x|$ in 0: i due lati tendono a $-1$ e $+1$. Un punto angoloso non ha derivata, anche se la funzione è continua in quel punto.
• $x^{2/3}$ in 0: $-\infty$ e $+\infty$, una cuspide.
• $\sqrt[3]{x}$ in 0: entrambi i lati crescono senza limite. La tangente è verticale, quindi non esiste una derivata finita.
• L’esempio con salto in 1: una funzione non continua non può essere derivabile.

Dove si usa

• La velocità è la derivata della posizione, come nella modalità Moto della pagina. In generale, la derivata è il tasso di variazione di una qualsiasi grandezza: il costo marginale in economia, la velocità di reazione in chimica, il tasso di crescita in biologia.
• Vicino a $a$, la tangente è la migliore approssimazione lineare, $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$. Il metodo di Newton per risolvere equazioni segue tangenti come questa.
• In un massimo o minimo interno a un intervallo, una funzione derivabile soddisfa $f' = 0$: così l’analisi trova il valore ottimale.

Comandi

• Trascina Q oppure usa il cursore |h| o il pulsante h → 0 nel pannello per modificare $h$. Sinistra / Destra ne imposta il segno.
• Trascina P o ruota la manopola Punto per spostare $a$. Trascina lo sfondo per spostare la vista; usa + e − per ingrandire o ridurre.
• Confronta e registra apre una finestra che rappresenta la pendenza della secante in funzione di $h$ su entrambi i lati e raccoglie i valori dell’avvicinamento. I valori continuano a essere raccolti anche a finestra chiusa.
• Moto trasforma la curva in una posizione $s(t)$: la pendenza della secante diventa una velocità media, la derivata la velocità istantanea $v(t) = s'(t)$.
• Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori, con caratteri grandi e comandi da tastiera (Spazio avvia h → 0, Page Up / Page Down passano tra le viste guidate, H nasconde la derivata).

Concetti collegati