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Analisi matematica · Funzione derivata

Funzione derivata

La funzione derivata f′ dà, in ogni x, la pendenza della tangente al grafico di f, dove tale pendenza esiste. Il suo grafico si trova sotto f: su un intervallo in cui f′ è positiva, f cresce; dove è negativa, f decresce; in un massimo o minimo in cui f è derivabile, f′ vale 0.

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La funzione derivata in questa visualizzazione

La funzione derivata di ff, indicata con f′(x)f'(x) (anche y′y' o dydx\frac{dy}{dx}), associa a ogni xx la derivata di ff in quel punto: la pendenza della tangente al grafico in xx. Dove tale pendenza non esiste, f′f' non ha valore. Questa pagina disegna ff e f′f' uno sopra l’altro sulla stessa scala xx, per otto funzioni.

Funzione derivata
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Si scrive anche f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}, la derivata in un punto x0x_0; lasciando variare x0x_0 si ottiene la funzione derivata e aa in questa pagina è x0x_0. Il punto blu P si trova su ff in x=ax = a, con la sua tangente. Il piccolo triangolo sotto la tangente ha base 1, quindi il suo dislivello è la pendenza della tangente. Lo stesso numero con segno viene disegnato, sulla scala propria del grafico inferiore, come la barra gialla che termina nel punto (a,f′(a))(a, f'(a)). Al muoversi di aa, quel punto percorre il grafico di f′; Traccia lo disegna da sinistra a destra.

Le due righe tra i grafici sono uno schema dei segni: la riga superiore indica se ff cresce (↗) o decresce (↘), quella inferiore dà il segno di f′f' (+ o −, con 0 dove f′=0f' = 0 e N.E. dove f′f' non esiste).

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Cosa osservare

  • Su un intervallo in cui f′>0f' > 0, ff cresce; dove f′<0f' < 0, decresce. Il viceversa è più debole: x3x^3 cresce ovunque, eppure f′(0)=0f'(0) = 0. Un massimo o minimo interno all’intervallo in cui ff è derivabile soddisfa f′=0f' = 0; ma f′=0f' = 0 non ne garantisce uno (ancora x3x^3 in 0), e un massimo o minimo può trovarsi dove f′f' non esiste, come nel punto angoloso di ∣x∣|x|.
  • Dove ff cambia concavità (un flesso) e f′′f'' cambia segno, f′f' ha un massimo o minimo locale. Su sin⁡x\sin x i flessi si trovano sopra i massimi e minimi di cos⁡x\cos x, dove sin⁡x\sin x ha la massima pendenza in valore assoluto. Non vale per ogni flesso: x3\sqrt[3]{x} ne ha uno in 0, dove la tangente è verticale e f′f' non ha valore.
  • Il grafico inferiore mostra pendenze, non valori di ff: la sua altezza in xx indica quanto rapidamente varia ff in quel punto. I due grafici hanno scale verticali proprie, scelte per contenerli.
  • Nel punto angoloso di ∣x∣|x|, f′f' salta da −1-1 a 11 e f′(0)f'(0) non esiste. Nella cuspide di x2/3x^{2/3}, f′f' tende a −∞-\infty da sinistra e a +∞+\infty da destra; nella tangente verticale di x3\sqrt[3]{x}, a +∞+\infty da entrambi i lati. Ognuna di queste funzioni è continua in 0, ma non derivabile lì.
  • exe^x è la propria derivata: il grafico inferiore ripete quello superiore.
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Comandi

  • Trascina P, il punto su f′f', oppure un punto qualsiasi di uno dei grafici per spostare aa; in alternativa ruota la rotella sotto Punto e premi i punti notevoli. Traccia fa percorrere a P il grafico da sinistra a destra e disegna f′f' al suo passaggio, fermandosi brevemente in ogni massimo, minimo, flesso e punto senza f′f', mentre il suo nome si illumina nello schema dei segni; P resta all’estremo destro. Estremi e flessi disegna guide tratteggiate attraverso massimi, minimi e flessi di ff, fino al grafico di f′f', e li nomina nello schema dei segni.
  • Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori (Spazio traccia, ← → spostano aa, H nasconde il grafico di f′f', che compare allora solo dove è passato P).
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Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Derivative (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.2 The Derivative as a Function (Inglese).