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Analisi matematica · Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange

Se una funzione f è continua su [a, b] e derivabile su (a, b), allora in un punto c tra a e b la sua tangente è parallela alla secante passante per gli estremi: f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).

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Il teorema di Lagrange in questa visualizzazione

Il teorema di Lagrange, detto anche teorema del valor medio di Lagrange, afferma: se una funzione ff è continua sull’intervallo chiuso [a,b][a, b] e derivabile sull’intervallo aperto (a,b)(a, b), allora esiste almeno un punto cc con a<c<ba < c < b in cui

Teorema di Lagrange
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Il membro sinistro è la pendenza della tangente in cc; quello destro è la pendenza della secante passante per (a,f(a))(a, f(a)) e (b,f(b))(b, f(b)), il tasso di variazione medio di ff sull’intervallo. Il punto si indica anche con ξ\xi. Il teorema di Rolle è il caso f(a)=f(b)f(a) = f(b), in cui la secante è orizzontale e f′(c)=0f'(c) = 0. La pagina mostra il teorema su quattro funzioni regolari e due per cui le ipotesi possono mancare: ∣x∣|x| non è derivabile nel punto angoloso e la funzione con salto, su un intervallo che lo contiene all’interno, non è lì né continua né derivabile.

I punti blu A e B si trovano sulla curva sopra aa e bb: trascinali oppure fai scorrere il segmento blu sull’asse x per spostare tutto l’intervallo. La retta gialla che li unisce è la secante; chiamiamo mm la sua pendenza. Ogni punto blu segna un punto cc: la sua tangente è parallela alla secante e una verticale tratteggiata lo unisce a essa; dove ff è regolare, l’altezza della curva sopra la secante ha derivata nulla in ogni cc (lì le due hanno la stessa pendenza). Sotto il grafico, la striscia delle pendenze disegna f′(x)f'(x) in blu e la pendenza della secante mm come una retta orizzontale gialla: ogni cc è un’intersezione. Con le risposte nascoste compare un punto di tangenza che puoi spostare lungo la curva per trovare cc.

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Conclusioni da non trarne

  • Il teorema garantisce almeno un cc, non esattamente uno: x3−3xx^3 - 3x su [−2,2][-2, 2] ne ha due, sin⁡x\sin x su [−6,6][-6, 6] ne ha quattro. Non dice dove si trovi cc: per una quadratica non degenere l’unico cc è sempre il punto medio, ma per altre funzioni può stare ovunque all’interno.
  • La derivabilità è richiesta solo all’interno dell’intervallo. x\sqrt{x} su [0,4][0, 4] ha una tangente verticale in 0, eppure c=1c = 1 funziona.
  • Quando manca un’ipotesi, il teorema non conclude nulla. ∣x∣|x| su [−1,2][-1, 2] non ha cc, né la funzione con salto su [0.5,1.5][0.5, 1.5]; eppure la stessa funzione con salto su [0,2][0, 2] ha comunque c=1.5c = 1.5.
  • I punti cc in questa pagina vengono ricavati esattamente da f′(c)=f'(c) = pendenza della secante per ogni funzione, non trovati con una ricerca numerica.
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Dove si usa

  • Velocità media: un’auto percorre 10 km in 5 minuti, una media di 120 km/h. Se la distanza percorsa varia continuamente e ha una derivata, la velocità, in ogni istante interno a quei 5 minuti, allora in un istante la velocità è stata esattamente 120 km/h. Quindi un conducente la cui media su un tratto cronometrato da telecamere supera il limite lo ha superato almeno in un istante.
  • Se f′=0f' = 0 ovunque su un intervallo, ff è costante lì; due funzioni con la stessa derivata differiscono per una costante, ed è per questo che una primitiva contiene + C+\,C.
  • Stime: se ∣f′∣≤M|f'| \le M sull’intervallo, allora ∣f(b)−f(a)∣≤M ∣b−a∣|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. Il teorema è anche un passaggio nella dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo.
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Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Mean value theorem (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4 The Mean Value Theorem (Inglese).