Теорема о среднем: интерактивная визуализация

01

Теорема о среднем в этой визуализации

Теорема о среднем, также называемая теоремой Лагранжа о среднем, утверждает: если функция $f$ непрерывна на замкнутом интервале $[a, b]$ и дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$ , то существует хотя бы одна точка $c$ с $a < c < b$ , в которой

Теорема Лагранжа о среднем

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Левая часть — наклон касательной в $c$ ; правая — наклон секущей через $(a, f(a))$ и $(b, f(b))$ , средняя скорость изменения $f$ на интервале. Точку также обозначают $\xi$ . Теорема Ролля — случай $f(a) = f(b)$ , когда секущая горизонтальна и $f'(c) = 0$ . Здесь теорема показана на четырёх гладких функциях и двух, для которых условия могут нарушаться: $|x|$ не дифференцируема в угловой точке, а функция со скачком на интервале, содержащем скачок внутри, там не непрерывна и не дифференцируема.

Синие точки A и B лежат на кривой над $a$ и $b$ : перетаскивайте их или сдвигайте синий отрезок на оси x, чтобы двигать весь интервал. Жёлтая прямая через них — секущая; обозначим её наклон $m$ . Каждая синяя точка отмечает точку $c$ : её касательная параллельна секущей, а пунктирная вертикаль соединяет её с секущей; где $f$ гладка, производная высоты кривой над секущей равна нулю в каждой $c$ (там у них одинаковый наклон). Под графиком полоса наклонов рисует $f'(x)$ синим, а наклон секущей $m$ — жёлтой горизонтальной прямой: каждая $c$ — пересечение. При скрытых ответах появляется точка касания, которую можно двигать по кривой и самому искать $c$ .

02

Чего теорема не утверждает

Теорема обещает хотя бы одну $c$ , а не ровно одну: у $x^3 - 3x$ на $[-2, 2]$ их две, у $\sin x$ на $[-6, 6]$ — четыре. Она не указывает, где находится $c$ : для невырожденной квадратичной функции единственная $c$ всегда посередине, но для других функций может лежать в любом месте внутри.
Дифференцируемость требуется только внутри интервала. У $\sqrt{x}$ на $[0, 4]$ вертикальная касательная в 0, но $c = 1$ всё равно подходит.
Если условие нарушено, теорема ничего не говорит. У $|x|$ на $[-1, 2]$ нет $c$ , как и у функции со скачком на $[0.5, 1.5]$ ; однако у той же функции со скачком на $[0, 2]$ случайно есть $c = 1.5$ .
Для каждой функции точки $c$ здесь находятся точным решением уравнения « $f'(c) =$ наклон секущей», а не численным поиском.

03

Где это применяется

Средняя скорость: автомобиль проезжает 10 км за 5 минут, в среднем 120 км/ч. Если пройденный путь меняется непрерывно и имеет производную — скорость — в каждый момент внутри этих 5 минут, то в какой-то момент скорость была ровно 120 км/ч. Поэтому водитель, чья средняя скорость на участке между камерами выше ограничения, в какой-то момент превысил его.
Если $f' = 0$ везде на интервале, то $f$ там постоянна; две функции с одинаковой производной различаются на постоянную, поэтому первообразная содержит $+\,C$ .
Оценки: если $|f'| \le M$ на интервале, то $|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|$ . Теорема также служит шагом доказательства основной теоремы анализа.

04

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Mean value theorem (Английский); OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4 The Mean Value Theorem (Английский).