Teorema Nilai Rata-Rata: Visualisasi Interaktif

01

Teorema nilai rata-rata dalam visualisasi ini

Teorema nilai rata-rata, juga disebut teorema nilai rata-rata Lagrange, menyatakan: jika fungsi $f$ kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada interval terbuka $(a, b)$ , maka ada minimal satu titik $c$ dengan $a < c < b$ tempat

Teorema nilai rata-rata

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Ruas kiri adalah kemiringan garis singgung di $c$ ; ruas kanan adalah kemiringan garis sekan melalui $(a, f(a))$ dan $(b, f(b))$ , laju perubahan rata-rata $f$ pada interval. Titiknya juga ditulis $\xi$ . Teorema Rolle adalah kasus $f(a) = f(b)$ , saat garis sekan datar dan $f'(c) = 0$ . Halaman ini menampilkan teorema pada empat fungsi mulus dan dua fungsi yang syaratnya dapat gagal: $|x|$ tidak terdiferensialkan di titik sudutnya, dan fungsi lompatan, pada interval yang memuat lompatan di dalamnya, tidak kontinu maupun terdiferensialkan di sana.

Titik biru A dan B berada pada kurva di atas $a$ dan $b$ : seret keduanya, atau geser ruas biru pada sumbu x untuk memindahkan seluruh interval. Garis kuning melalui keduanya adalah sekan; sebut kemiringannya $m$ . Setiap titik biru menandai titik $c$ : garis singgungnya sejajar dengan sekan, dan garis vertikal putus-putus menghubungkannya ke sekan: saat $f$ mulus, tinggi kurva di atas sekan memiliki turunan nol pada setiap $c$ (keduanya berkemiringan sama di sana). Di bawah grafik, pita kemiringan menggambar $f'(x)$ dalam biru dan kemiringan sekan $m$ sebagai garis horizontal kuning: setiap $c$ adalah perpotongan. Saat jawaban disembunyikan, muncul titik singgung yang dapat Anda geser sepanjang kurva untuk mencari $c$ sendiri.

02

Hal yang tidak dinyatakan teorema

Teorema menjamin minimal satu $c$ , bukan tepat satu: $x^3 - 3x$ pada $[-2, 2]$ memiliki dua, $\sin x$ pada $[-6, 6]$ memiliki empat. Teorema tidak menyatakan di mana $c$ berada: untuk kuadrat tak degenerat, $c$ yang tunggal selalu titik tengah, tetapi untuk fungsi lain dapat berada di mana saja di dalam interval.
Keterdiferensialan hanya diperlukan di bagian dalam interval. $\sqrt{x}$ pada $[0, 4]$ memiliki garis singgung vertikal di 0, dan $c = 1$ tetap memenuhi.
Saat syarat gagal, teorema tidak memberi kesimpulan. $|x|$ pada $[-1, 2]$ tidak memiliki $c$ , begitu pula fungsi lompatan pada $[0.5, 1.5]$ ; tetapi fungsi lompatan yang sama pada $[0, 2]$ kebetulan memiliki $c = 1.5$ .
Titik $c$ pada halaman ini diselesaikan secara eksak dari $f'(c) =$ kemiringan garis sekan untuk setiap fungsi, bukan ditemukan dengan pencarian numerik.

03

Penerapannya

Kelajuan rata-rata: mobil menempuh 10 km dalam 5 menit, rata-rata 120 km/h. Jika jarak tempuhnya berubah kontinu dan memiliki turunan, yaitu kelajuan, pada setiap saat dalam 5 menit itu, maka pada suatu saat kelajuannya tepat 120 km/h. Jadi pengemudi dengan rata-rata di atas batas pada ruas yang waktunya diukur kamera pernah melampaui batas pada suatu saat.
Jika $f' = 0$ di mana-mana pada interval, $f$ konstan di sana; dua fungsi dengan turunan sama berbeda sebesar konstanta, itulah sebabnya antiturunan memuat $+\,C$ .
Estimasi: jika $|f'| \le M$ pada interval, maka $|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|$ . Teorema ini juga menjadi langkah dalam pembuktian teorema dasar kalkulus.

04

Terkait

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Mean value theorem (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4 The Mean Value Theorem (Bahasa Inggris).