Math

Cálculo · Teorema do valor médio

Teorema do valor médio

Se uma função f for contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b), existe um ponto c entre a e b onde a tangente é paralela à secante pelos extremos: f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).

01

O teorema do valor médio nesta visualização

O teorema do valor médio, também chamado teorema do valor médio de Lagrange, afirma: se uma função ff for contínua no intervalo fechado [a,b][a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b)(a, b), então existe pelo menos um ponto cc, com a<c<ba < c < b, onde

Teorema do valor médio
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

O lado esquerdo é o declive da tangente em cc; o lado direito é o declive da secante por (a,f(a))(a, f(a)) e (b,f(b))(b, f(b)), a taxa média de variação de ff no intervalo. O ponto também se escreve ξ\xi. O teorema de Rolle é o caso f(a)=f(b)f(a) = f(b), em que a secante é horizontal e f′(c)=0f'(c) = 0. A página mostra o teorema em quatro funções suaves e em duas cujas hipóteses podem falhar: ∣x∣|x| não é diferenciável no ponto anguloso, e a função com salto, num intervalo que contém o salto no interior, não é contínua nem diferenciável nesse ponto.

Os pontos azuis A e B estão na curva acima de aa e bb: arraste-os ou deslize o segmento azul no eixo x para mover todo o intervalo. A linha amarela que passa por eles é a secante; chamemos mm ao seu declive. Cada ponto azul assinala um ponto cc: a tangente é paralela à secante, e uma vertical tracejada liga-o à secante; onde ff é suave, a altura da curva acima da secante tem derivada nula em cada cc (as duas têm aí o mesmo declive). Por baixo do gráfico, a faixa dos declives desenha f′(x)f'(x) a azul e o declive da secante mm como uma reta horizontal amarela: cada cc é uma interseção. Com as respostas ocultas, aparece um ponto de tangência que pode mover ao longo da curva para encontrar cc por si.

02

O que o teorema não afirma

  • O teorema garante pelo menos um cc, não exatamente um: x3−3xx^3 - 3x em [−2,2][-2, 2] tem dois, e sin⁡x\sin x em [−6,6][-6, 6] tem quatro. Não diz onde está cc: numa função quadrática não degenerada, o único cc é sempre o ponto médio; noutras funções, pode estar em qualquer ponto do interior.
  • A diferenciabilidade só é necessária no interior do intervalo. x\sqrt{x} em [0,4][0, 4] tem tangente vertical em 0, e mesmo assim c=1c = 1 satisfaz a condição.
  • Quando uma hipótese falha, o teorema nada permite concluir. ∣x∣|x| em [−1,2][-1, 2] não tem cc, tal como a função com salto em [0.5,1.5][0.5, 1.5]; no entanto, a mesma função com salto em [0,2][0, 2] tem, por acaso, c=1.5c = 1.5.
  • Os pontos cc desta página são calculados de forma exata a partir de f′(c)=f'(c) = declive da secante para cada função, e não por pesquisa numérica.
03

Aplicações

  • Velocidade média: um carro percorre 10 km em 5 minutos, uma média de 120 km/h. Se a distância percorrida variar continuamente e tiver derivada — a velocidade — em todos os instantes no interior desses 5 minutos, então houve um instante em que a velocidade foi exatamente 120 km/h. Assim, um condutor cuja média num troço cronometrado por câmaras exceda o limite esteve acima do limite em algum momento.
  • Se f′=0f' = 0 em todos os pontos de um intervalo, ff é constante nesse intervalo; duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante, razão pela qual uma primitiva inclui + C+\,C.
  • Estimativas: se ∣f′∣≤M|f'| \le M no intervalo, então ∣f(b)−f(a)∣≤M ∣b−a∣|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. O teorema é também um passo na demonstração do teorema fundamental do cálculo.
04

Relacionados

Para saber mais: Wikipédia: Mean value theorem (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4 The Mean Value Theorem (Inglês).