Teorema fundamental do cálculo

O teorema fundamental do cálculo nesta visualização

Como interpretar corretamente

• A área tem sinal. Onde $f < 0$, a região conta negativamente, pelo que $A$ decresce; onde $x < a$, o integral percorre-se no sentido inverso e todos os sinais se invertem. Um zero de $f$ onde há mudança de sinal é um máximo ou mínimo de $A$; um zero sem mudança de sinal não o é.
• O teorema exige que $f$ seja contínua em $x$. Onde $f$ tem um salto, $A$ mantém-se contínua, mas tem um ponto anguloso: os declives laterais são os limites laterais de $f$, e $A'(x)$ não existe. Para a função degrau aqui apresentada, $A$ calcula-se por integração em cada troço; nenhuma primitiva única serve através do salto.
• Alterar $a$ acrescenta uma constante: $A(x) = F(x) - F(a)$. Quando $f$ é contínua, toda a função área é uma primitiva, mas nem toda a primitiva é uma função área: para $f = \cos$, $\sin x + 5$ nunca é $\int_a^x \cos t\,dt$, pois isso exigiria $\sin a = -5$.
• A letra $t$ é apenas a variável de integração; $x$ indica onde termina a área. Os valores desta página vêm de fórmulas para a área — $F(x) - F(a)$, por troços na função degrau —, não de somas numéricas. Para $e^{-t^2}$, a fórmula usa a função erro $\operatorname{erf}$.

Aplicações

• Calcular integrais definidos: encontrar uma primitiva qualquer e subtrair, em vez de calcular um limite de somas de Riemann.
• Acumulação: o deslocamento é o integral da velocidade, e a sua taxa de variação é a própria velocidade. (A distância percorrida é o integral da rapidez $|v|$.)
• Definir novas funções: $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ e $\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x$, que não tem fórmula em funções elementares — o teorema continua a dar a sua derivada, $e^{-x^2}$.

Controlos

• Arraste em qualquer dos gráficos para mover $x$ e arraste a marca $a$ no eixo superior para mover o limite inferior; em Limites, cada um tem uma roda para ajustes finos e teclas para os valores habituais, que são atingidos exatamente (π continua a ser π).
• Em Faixa fina, um deslizador logarítmico define a largura $\Delta x$ de 1 até 0.0001 (pelo teclado, até 0.000001), e uma alavanca coloca a faixa à direita de $x$, à esquerda ou dos dois lados. Δx → 0 torna a faixa dez vezes mais estreita em cada passo, com uma pausa em cada um, e mantém o valor final; premido aí, recomeça em 0.5.
• O Modo de apresentação abre uma vista de ecrã inteiro para projeção (Espaço inicia Δx → 0, ↑ ↓ tornam a faixa dez vezes mais larga ou mais estreita, ← → movem $x$, H oculta a parte ténue restante de $A$, a sua tangente e o seu declive).

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