Théorème fondamental de l’analyse : visualisation interactive

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Le théorème fondamental de l’analyse dans cette visualisation

Le théorème fondamental de l’analyse relie la dérivée et l’intégrale. Sa première partie affirme que si $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$ , la fonction aire (aussi appelée fonction d’accumulation, ou intégrale à borne supérieure variable)

Partie 1

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad\text{vérifie}\quad A'(x) = f(x)\text{.}

$A(x)$ se note aussi $\Phi(x)$ . La seconde partie en découle : si $F$ est une primitive quelconque de $f$ , alors $F - A$ a une dérivée nulle, donc est constante, et

Partie 2

\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a).

Le graphique supérieur représente $f$ ; la région colorée va de la borne inférieure $a$ à la borne supérieure x. Le graphique inférieur représente A, sur le même axe horizontal. En $x$ , le segment bleu du haut est la hauteur f(x). Lorsque $f$ est continue en $x$ , la tangente bleue du bas a exactement cette pente : son élévation sur une unité est le même segment bleu, car les deux graphiques ont la même échelle. Là où $f$ présente un saut, il n’y a pas de tangente ; les deux pentes unilatérales sont tracées en pointillés. Sur la bande fine de largeur Δx à côté de $x$ , l’aire augmente de $\Delta A \approx f(x)\,\Delta x$ , donc $\Delta A / \Delta x \to f(x)$ : la barre de valeurs affiche ce quotient ; en dessous, la sécante de la bande sur $A$ , dont il est la pente, tend vers la tangente lorsque $\Delta x \to 0$ . Là où $f$ présente un saut, chaque bande conserve sa propre hauteur, aussi fine soit-elle.

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Bien lire le graphique

L’aire est algébrique. Là où $f < 0$ , la région compte négativement, donc $A$ décroît ; lorsque $x < a$ , l’intégrale est parcourue à l’envers et tous les signes s’inversent. Un zéro de $f$ où elle change de signe est un maximum ou un minimum de $A$ ; un zéro sans changement de signe ne l’est pas.
Le théorème exige que $f$ soit continue en $x$ . Là où $f$ présente un saut, $A$ reste continue mais présente un point anguleux : les pentes unilatérales sont les limites unilatérales de $f$ , et $A'(x)$ n’existe pas. Pour la fonction en escalier ici, $A$ est intégrée par morceaux ; aucune primitive unique ne convient à travers le saut.
Changer $a$ ajoute une constante : $A(x) = F(x) - F(a)$ . Lorsque $f$ est continue, toute fonction aire est une primitive, mais toute primitive n’est pas une fonction aire : pour $f = \cos$ , $\sin x + 5$ n’est jamais $\int_a^x \cos t\,dt$ , car il faudrait $\sin a = -5$ .
La lettre $t$ n’est que la variable d’intégration ; $x$ indique où l’aire s’arrête. Les valeurs de cette page proviennent de formules d’aire — $F(x) - F(a)$ , par morceaux pour la fonction en escalier — et non de sommes numériques. Pour $e^{-t^2}$ , la formule utilise la fonction d’erreur $\operatorname{erf}$ .

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Applications

Calculer des intégrales définies : trouver une primitive et soustraire ses valeurs, au lieu de prendre une limite de sommes de Riemann.
Accumulation : le déplacement est l’intégrale de la vitesse, et son taux de variation est la vitesse elle-même. (La distance parcourue est l’intégrale de la vitesse scalaire $|v|$ .)
Définir de nouvelles fonctions : $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ , et $\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x$ , qui n’a pas de formule en fonctions élémentaires — le théorème donne tout de même sa dérivée, $e^{-x^2}$ .

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Commandes

Faites glisser sur l’un des graphiques pour déplacer $x$ , et la marque $a$ sur l’axe supérieur pour déplacer la borne inférieure ; sous Bornes, chacune dispose d’une roue pour les réglages fins et de touches pour ses valeurs usuelles, atteintes exactement (π reste π).
Sous Bande fine, un curseur logarithmique règle la largeur $\Delta x$ de 1 à 0.0001 (jusqu’à 0.000001 par saisie), et un levier place la bande à droite de $x$ , à gauche, ou des deux côtés. Δx → 0 rend la bande dix fois plus fine à chaque étape, avec une pause à chacune, puis reste à la fin ; un appui à ce stade relance depuis 0.5.
Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection (Espace lance Δx → 0, ↑ ↓ rendent la bande dix fois plus large ou plus fine, ← → déplacent $x$ , H masque le reste discret de $A$ , sa tangente et sa pente).

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Voir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Fundamental theorem of calculus (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Anglais).