Somme de Riemann : visualisation interactive

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La somme de Riemann dans cette visualisation

Une somme de Riemann approche l’intégrale de $f$ sur $[a, b]$ . Découpez l’intervalle en sous-intervalles $[x_{i-1}, x_i]$ , choisissez un point $x_i^*$ dans chacun, puis additionnez $f(x_i^*)\,\Delta x_i$ . Cette page utilise $n$ sous-intervalles égaux, donc chaque morceau a la même largeur :

Somme de Riemann

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

La définition générale autorise des sous-intervalles de largeurs différentes et un point quelconque dans chacun, puis prend la limite lorsque la largeur maximale, $\lambda = \max \Delta x_i$ , tend vers 0 ; avec des sous-intervalles égaux comme ici, $\lambda \to 0$ équivaut à $n \to \infty$ .

Chaque rectangle jaune repose sur un sous-intervalle et atteint $f(x_i^*)$ , le point jaune de la courbe ; $S_n$ additionne leurs aires algébriques : un rectangle sous l’axe des x compte donc négativement, et un rectangle peut dépasser la courbe ou rester en dessous. La méthode détermine la position du point choisi : extrémité gauche $x_{i-1}$ , extrémité droite $x_i$ , ou milieu. La somme des trapèzes relie plutôt $f(x_{i-1})$ et $f(x_i)$ par une corde et égale la moyenne des sommes à gauche et à droite :

Somme des trapèzes

T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

n → ∞ double $n$ étape par étape jusqu’à $n = 256$ , chaque morceau se divisant donc en deux (depuis un $n$ qui n’est pas une puissance de deux, la première étape atteint la puissance de deux suivante). Pour une fonction intégrable, les sommes tendent vers l’intégrale définie, affichée en bleu :

Intégrale définie

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

La page calcule l’intégrale exactement à partir d’une primitive $F$ , jamais d’une somme avec un grand $n$ ; l’erreur est $S_n$ moins cette valeur.

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À observer

L’aire est algébrique. Lorsque $f < 0$ , un morceau pend sous l’axe des x ; il est hachuré et compte négativement. Sur $[0, 2\pi]$ , les deux arches de $\sin x$ se compensent, et l’intégrale vaut 0.
Pour une fonction croissante, la somme à gauche est trop petite et celle à droite trop grande ; pour une fonction décroissante, c’est l’inverse. L’intégrale est comprise entre les deux.
La rapidité de diminution de l’erreur dépend de la méthode. Pour une fonction régulière et $n$ grand, les erreurs à gauche et à droite se comportent comme $C/n$ , et celles du milieu et du trapèze comme $C/n^2$ : chaque doublement finit donc par les diviser par deux ou par quatre. Au début, le facteur peut différer (1.6 pour les premières sommes à gauche de $x^2$ sur $[0, 1]$ ), et lorsque le terme dominant s’annule, l’erreur diminue plus vite : pour $x^2$ sur $[-1, 1]$ , les erreurs à gauche et à droite sont déjà en $1/n^2$ . Le graphique d’erreur dans la barre de valeurs a deux échelles logarithmiques ; le facteur apparaît donc dans la pente de chaque ligne : son logarithme en base 2, pente 1 pour un facteur 2 et pente 2 pour un facteur 4. Gauche et droite descendent doucement, milieu et trapèze environ deux fois plus raide, sauf lorsque le terme dominant s’annule.
Les erreurs du milieu et du trapèze ont généralement des signes opposés. Pour $f(x) = x^2$ , l’erreur au milieu vaut exactement $-\tfrac12$ de l’erreur des trapèzes, pour tout $n$ .
La définition de l’intégrale autorise des morceaux inégaux et un point quelconque dans chacun ; les morceaux égaux avec une règle fixe sont le cas particulier dessiné ici. La limite doit être la même pour tous ces choix lorsque le plus grand morceau tend vers une largeur nulle.
Au sens strict, la somme des trapèzes n’est pas une somme de Riemann (pas un seul point choisi par morceau), mais étant la moyenne des sommes à gauche et à droite, elle a la même limite. Les méthodes des rectangles et des trapèzes en intégration numérique sont ces sommes.

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Commandes

Déplacez les lignes pointillées $x = a$ et $x = b$ , ou leurs marques sur le bord inférieur, tournez les deux roues sous Intervalle, ou saisissez les extrémités : π, 2π, π/2 et e sont reconnus. Les touches sous les roues les placent sur des valeurs exactes.
Les touches de méthode choisissent la position du point d’échantillonnage ; sous chacune figurent sa somme et son erreur pour le $n$ actuel, permettant de comparer les quatre d’un coup d’œil. Le graphique entre la somme et l’intégrale montre la valeur absolue de l’erreur selon $n$ pour les quatre méthodes.
Le bouton règle $n$ à 1, 2, 4 … 256, un cran par doublement ; ses flèches passent au cran suivant. Toute autre valeur de $n$ jusqu’à 10 000 peut être saisie. n → ∞ double $n$ étape par étape jusqu’à 256 (d’abord jusqu’à la puissance de deux suivante) et y reste ; un appui à 256 relance depuis 1. Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection (Espace lance n → ∞, ← → divisent n par deux et le doublent, H masque les réponses).

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Voir aussi

D18Théorème fondamental de l’analyse
D01Limite
D34SériesÀ venir
E18Intégrale doubleÀ venir

Pour aller plus loin: Wikipédia: Riemann sum (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.1 Approximating Areas (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 2, 3.6 Numerical Integration (Anglais).