黎曼和：互動視覺化 · Bun & Bolt Math

01

這個視覺化中的黎曼和

黎曼和用來近似 $f$ 在 $[a, b]$ 上的積分。把區間分成小區間 $[x_{i-1}, x_i]$ ，在每段選一個取樣點 $x_i^*$ ，再把 $f(x_i^*)\,\Delta x_i$ 加起來。本頁使用 $n$ 個等分區間，因此每段寬度相同：

黎曼和

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

一般定義允許各段寬度不同，取樣點也可任選；當最寬一段 $\lambda = \max \Delta x_i$ 趨近 0 時取極限。本頁各段等寬，所以 $\lambda \to 0$ 與 $n \to \infty$ 等價。

每個黃色矩形都立在一個小區間上，高度到達曲線上的黃點 $f(x_i^*)$ ； $S_n$ 把它們的帶符號面積相加，因此 x 軸下的矩形計為負值，矩形也可能高出曲線或低於曲線。規則決定取樣點的位置：左端點 $x_{i-1}$ 、右端點 $x_i$ ，或中點。梯形求和則用弦連接 $f(x_{i-1})$ 與 $f(x_i)$ ，等於左和與右和的平均：

梯形和

T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

n → ∞逐步把 $n$ 加倍，直到 $n = 256$ ，每段因而分成兩半（若 $n$ 不是 2 的冪，第一步先升至下一個 2 的冪）。對可積函數，總和會逼近藍色顯示的定積分：

定積分

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

本頁透過反導函數 $F$ 精確求出積分，不以很大的 $n$ 所得到的和代替；誤差是 $S_n$ 減去這個精確值。

02

值得觀察的地方

面積帶有正負號。當 $f < 0$ 時，小段位於 x 軸下方，以斜線表示並計為負值。在 $[0, 2\pi]$ 上， $\sin x$ 的兩個拱形互相抵消，積分為 0。
對遞增函數，左和偏小、右和偏大；遞減函數則相反。積分位於兩者之間。
誤差縮小的速度取決於求和規則。對光滑函數及足夠大的 $n$ ，左和與右和的誤差約按 $C/n$ 變化，中點與梯形的誤差約按 $C/n^2$ 變化，因此每次加倍，最終會使誤差縮為一半或四分之一。初期的倍率可能不同（ $x^2$ 在 $[0, 1]$ 上最初兩個左和的倍率是 1.6）；主導項抵消時，誤差下降更快： $x^2$ 在 $[-1, 1]$ 上的左和與右和誤差已按 $1/n^2$ 變化。讀值列中的誤差圖兩軸都是對數刻度，因此倍率表現為直線斜率，也就是倍率以 2 為底的對數：倍率 2 對應斜率 1，倍率 4 對應斜率 2。除了主導項抵消的情況，左和與右和下降較緩，中點與梯形約陡兩倍。
中點與梯形的誤差通常符號相反。對 $f(x) = x^2$ ，無論 $n$ 為何，中點誤差都恰好是梯形誤差的 $-\tfrac12$ 。
積分的定義允許不等寬的小段，以及每段內任意的取樣點；本頁畫出的等分與固定規則只是特例。當最寬一段趨近 0 時，所有這類選法都必須得到同一極限。
嚴格來說，梯形和不是黎曼和（每段沒有單一取樣點），但它是左和與右和的平均，因此極限相同。數值積分中的矩形法與梯形法，就是這些求和方法。

03

操作方式

拖曳虛線 $x = a$ 、 $x = b$ 或底邊的標記，轉動區間下的兩個微調輪，或直接輸入端點：支援 π、2π、π/2 和 e。微調輪下的按鍵可設定精確值。
規則按鍵選擇取樣點的位置；每個按鍵下方都顯示目前 $n$ 對應的總和與誤差，四種方法可直接比較。總和與積分之間的圖表顯示四種方法的誤差大小如何隨 $n$ 變化。
旋鈕把 $n$ 設為 1、2、4 … 256，每加倍一次一格；方向鍵移到下一格。也可直接輸入不超過 10 000 的其他 $n$ 。n → ∞逐步把 $n$ 加倍至 256（先升至下一個 2 的冪），並停在那裡；在 256 時再按，會從 1 重新開始。簡報模式開啟適合投影的全螢幕畫面（空白鍵執行 n → ∞，← → 將 n 減半或加倍，H 隱藏答案）。

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這個視覺化中的黎曼和

值得觀察的地方

操作方式

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