Somma di Riemann: visualizzazione interattiva

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La somma di Riemann in questa visualizzazione

Una somma di Riemann approssima l’integrale di $f$ su $[a, b]$ . Dividi l’intervallo in sottointervalli $[x_{i-1}, x_i]$ , scegli un punto campione $x_i^*$ in ciascuno e somma $f(x_i^*)\,\Delta x_i$ . Questa pagina usa $n$ sottointervalli uguali, quindi ogni parte ha la stessa larghezza:

Somma di Riemann

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

La definizione generale ammette sottointervalli di larghezze diverse e qualunque punto campione in ciascuno, prendendo il limite quando il sottointervallo più largo, $\lambda = \max \Delta x_i$ , tende a 0; con sottointervalli uguali, come qui, $\lambda \to 0$ equivale a $n \to \infty$ .

Ogni rettangolo giallo ha base su un sottointervallo e arriva a $f(x_i^*)$ , il punto giallo sulla curva; $S_n$ somma le loro aree con segno, quindi un rettangolo sotto l’asse x conta come negativo e un rettangolo può superare la curva o non raggiungerla. Il metodo decide dove si trova il punto campione: l’estremo sinistro $x_{i-1}$ , quello destro $x_i$ oppure il punto medio. La somma dei trapezi unisce invece $f(x_{i-1})$ e $f(x_i)$ con una corda ed è uguale alla media delle somme sinistra e destra:

Somma dei trapezi

T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

n → ∞ raddoppia $n$ passo dopo passo fino a $n = 256$ , quindi ogni parte si divide in due (da un $n$ che non è una potenza di due, il primo passo sale alla potenza di due successiva). Per una funzione integrabile le somme tendono all’integrale definito, mostrato in blu:

Integrale definito

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

La pagina ricava l’integrale da una primitiva $F$ , esattamente, mai da una somma con $n$ grande; l’errore è $S_n$ meno quel valore.

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Cosa osservare

L’area ha segno. Dove $f < 0$ una parte scende sotto l’asse x; è tratteggiata e conta come negativa. Su $[0, 2\pi]$ i due archi di $\sin x$ si annullano e l’integrale è 0.
Per una funzione crescente la somma sinistra è troppo piccola e quella destra troppo grande; per una funzione decrescente accade il contrario. L’integrale è compreso tra le due.
La velocità con cui l’errore si riduce dipende dal metodo. Per una funzione regolare e $n$ grande, gli errori sinistro e destro si comportano come $C/n$ , quelli del punto medio e del trapezio come $C/n^2$ , quindi ogni raddoppio finisce per dimezzarli o dividerli per quattro. All’inizio il fattore può essere diverso (1.6 per le prime somme sinistre di $x^2$ su $[0, 1]$ ) e, quando il termine principale si annulla, l’errore cala più rapidamente: per $x^2$ su $[-1, 1]$ gli errori sinistro e destro vanno già come $1/n^2$ . Il grafico dell’errore nella barra dei valori ha entrambe le scale logaritmiche, quindi il fattore appare nella pendenza di ogni linea: il suo logaritmo in base 2, pendenza 1 per un fattore 2 e pendenza 2 per un fattore 4. Sinistra e destra scendono dolcemente, punto medio e trapezio circa due volte più ripidamente, tranne dove il termine principale si annulla.
Gli errori del punto medio e del trapezio hanno di solito segni opposti. Per $f(x) = x^2$ , l’errore del punto medio è esattamente $-\tfrac12$ di quello del trapezio, per ogni $n$ .
La definizione di integrale ammette parti disuguali e qualsiasi punto campione in ciascuna; parti uguali con un metodo fisso sono il caso particolare disegnato qui. Il limite deve essere lo stesso per ogni scelta quando la parte più larga tende a 0.
A rigore, la somma dei trapezi non è una somma di Riemann (non usa un solo punto campione per parte), ma essendo la media delle somme sinistra e destra ha lo stesso limite. I metodi dei rettangoli e dei trapezi nell’integrazione numerica sono queste somme.

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Comandi

Trascina le linee punteggiate $x = a$ e $x = b$ o i loro segni sul bordo inferiore, ruota le due rotelle sotto Intervallo oppure digita gli estremi: π, 2π, π/2 ed e sono riconosciuti. I tasti sotto le rotelle impostano valori esatti.
I tasti dei metodi scelgono dove si trova il punto campione; sotto ogni tasto compaiono somma ed errore del metodo per l’attuale $n$ , così i quattro si confrontano a colpo d’occhio. Il grafico tra la somma e l’integrale mostra il modulo dell’errore in funzione di $n$ per tutti e quattro i metodi.
La manopola imposta $n$ a 1, 2, 4 … 256, uno scatto per raddoppio; le frecce passano allo scatto successivo. Puoi digitare qualsiasi altro $n$ fino a 10 000. n → ∞ raddoppia $n$ passo dopo passo fino a 256 (prima fino alla successiva potenza di due) e resta lì; premuto a 256, riparte da 1. Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori (Spazio avvia n → ∞, ← → dimezzano e raddoppiano n, H nasconde le risposte).

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Concetti collegati

D18Teorema fondamentale del calcolo
D01Limite
D34SerieIn programma
E18Integrale doppioIn programma

Per approfondire: Wikipedia: Riemann sum (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.1 Approximating Areas (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 2, 3.6 Numerical Integration (Inglese).