Teorema fondamentale del calcolo: visualizzazione interattiva

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Il teorema fondamentale del calcolo in questa visualizzazione

Il teorema fondamentale del calcolo collega derivata e integrale. La prima parte afferma che, se $f$ è continua su un intervallo contenente $a$ , la funzione area (detta anche funzione di accumulazione o integrale con estremo superiore variabile)

Parte 1

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad\text{ha}\quad A'(x) = f(x)\text{.}

$A(x)$ si scrive anche $\Phi(x)$ . Ne segue la seconda parte: se $F$ è una qualunque primitiva di $f$ , allora $F - A$ ha derivata 0, quindi è costante, e

Parte 2

\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a).

Il grafico superiore è $f$ ; la regione colorata va dall’estremo inferiore $a$ all’estremo superiore x. Il grafico inferiore è A, disegnato sullo stesso asse orizzontale. In $x$ , il segmento blu sopra è l’altezza f(x). Quando $f$ è continua in $x$ , la tangente blu sotto ha esattamente quella pendenza: il suo dislivello su una unità è lo stesso segmento blu, perché entrambi i grafici usano la stessa scala. Dove $f$ salta, non c’è tangente; le due pendenze laterali sono tratteggiate. Sulla striscia sottile di larghezza Δx accanto a $x$ , l’area cresce di $\Delta A \approx f(x)\,\Delta x$ , quindi $\Delta A / \Delta x \to f(x)$ : la barra dei valori mostra questo rapporto; sotto, la secante su $A$ corrispondente alla striscia, di cui il rapporto è la pendenza, tende alla tangente quando $\Delta x \to 0$ . Dove $f$ salta, una striscia su ciascun lato mantiene la propria altezza per quanto sottile diventi.

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Come leggerlo correttamente

L’area ha segno. Dove $f < 0$ la regione conta come negativa, quindi $A$ decresce; dove $x < a$ l’integrale procede all’indietro e ogni segno si inverte. Uno zero di $f$ in cui il segno cambia è un massimo o minimo di $A$ ; uno zero senza cambio di segno non lo è.
Il teorema richiede che $f$ sia continua in $x$ . Dove $f$ salta, $A$ resta continua ma ha un punto angoloso: le pendenze laterali sono i limiti laterali di $f$ e $A'(x)$ non esiste. Per la funzione a gradino qui presente, $A$ si integra a tratti; nessuna singola primitiva vale attraverso il salto.
Cambiare $a$ aggiunge una costante: $A(x) = F(x) - F(a)$ . Quando $f$ è continua, ogni funzione area è una primitiva, ma non ogni primitiva è una funzione area: per $f = \cos$ , $\sin x + 5$ non è mai $\int_a^x \cos t\,dt$ , perché servirebbe $\sin a = -5$ .
La lettera $t$ è solo la variabile di integrazione; $x$ è dove l’area si ferma. I valori di questa pagina vengono da formule per l’area — $F(x) - F(a)$ , a tratti per la funzione a gradino — non da somme numeriche. Per $e^{-t^2}$ la formula usa la funzione errore $\operatorname{erf}$ .

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Dove si usa

Calcolare integrali definiti: trova una qualunque primitiva e sottrai, invece di prendere un limite di somme di Riemann.
Accumulazione: lo spostamento è l’integrale della velocità e il suo tasso di variazione è la velocità stessa. (La distanza percorsa è l’integrale del modulo della velocità $|v|$ .)
Definire nuove funzioni: $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ e $\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x$ , che non ha una formula in funzioni elementari — il teorema ne dà comunque la derivata, $e^{-x^2}$ .

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Comandi

Trascina su uno dei due grafici per spostare $x$ e il segno $a$ sull’asse superiore per spostare l’estremo inferiore; sotto Estremi, ciascuno ha una rotella per regolazioni fini e tasti per i valori consueti, raggiunti esattamente (π resta π).
Sotto Striscia sottile, un cursore logaritmico imposta la larghezza $\Delta x$ da 1 a 0.0001 (digitandola si arriva a 0.000001), e una leva pone la striscia a destra di $x$ , a sinistra oppure su entrambi i lati. Δx → 0 rende la striscia dieci volte più stretta a ogni passo, fermandosi brevemente a ciascuno e restando al termine; premuto lì, riparte da 0.5.
Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori (Spazio avvia Δx → 0, ↑ ↓ rendono la striscia dieci volte più larga o stretta, ← → spostano $x$ , H nasconde il resto tenue di $A$ , la sua tangente e la sua pendenza).

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Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Fundamental theorem of calculus (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Inglese).