İntegral Hesabın Temel Teoremi: Etkileşimli Görselleştirme

01

Bu görselleştirmede integral hesabın temel teoremi

İntegral hesabın temel teoremi, türev ile integrali bağlar. İlk kısmına göre $f$ , $a$ içeren bir aralıkta sürekliyse alan fonksiyonu (birikim fonksiyonu veya değişken üst sınırlı integral de denir)

1. kısım

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad\text{için}\quad A'(x) = f(x)\text{.}

$A(x)$ , $\Phi(x)$ olarak da yazılır. İkinci kısım buradan çıkar: $F$ , $f$ için herhangi bir ilkel fonksiyonsa $F - A$ türevi 0 olur; dolayısıyla sabittir ve

2. kısım

\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a).

Üst grafik $f$ 'dır; taralı bölge $a$ alt sınırından x üst sınırına uzanır. Alt grafik aynı yatay eksen üzerinde çizilen A'dır. $x$ noktasında üstteki mavi parça f(x) yüksekliğidir. $f$ , $x$ noktasında sürekliyse alttaki mavi teğetin eğimi tam bu değerdir: iki grafik aynı ölçeği kullandığından bir birimlik yükselmesi aynı mavi parçadır. $f$ sıçradığında teğet yoktur; iki tek taraflı eğim kesikli çizilir. $x$ yanındaki Δx genişliğinde ince şeritte alan $\Delta A \approx f(x)\,\Delta x$ kadar büyür; dolayısıyla $\Delta A / \Delta x \to f(x)$ olur. Okuma çubuğu bu oranı gösterir. Aşağıda $A$ üzerindeki, eğimi bu oran olan şerit keseni $\Delta x \to 0$ iken teğete dönüşür. $f$ sıçradığında iki taraftaki şeritler ne kadar incelse de kendi yüksekliklerini korur.

02

Doğru okuma

Alan işaretlidir. $f < 0$ olduğunda bölge negatif sayılır; bu yüzden $A$ azalır. $x < a$ olduğunda integral ters yönde ilerler ve tüm işaretler değişir. $f$ fonksiyonunun işaret değiştirdiği bir sıfırı, $A$ için tepe veya vadidir; işaret değiştirmeyen sıfır öyle değildir.
Teorem, $f$ fonksiyonunun $x$ noktasında sürekli olmasını gerektirir. $f$ sıçradığında $A$ sürekli kalır, ancak köşe yapar: tek taraflı eğimler $f$ tek taraflı limitleridir ve $A'(x)$ yoktur. Buradaki basamak fonksiyonunda $A$ parçalar halinde integre edilir; sıçrama boyunca tek bir ilkel fonksiyon geçerli olmaz.
$a$ değerini değiştirmek sabit ekler: $A(x) = F(x) - F(a)$ . $f$ sürekli olduğunda her alan fonksiyonu bir ilkel fonksiyondur; ancak her ilkel fonksiyon alan fonksiyonu değildir. $f = \cos$ için $\sin x + 5$ hiçbir zaman $\int_a^x \cos t\,dt$ olamaz; çünkü bu $\sin a = -5$ gerektirir.
$t$ harfi yalnızca integral değişkenidir; $x$ alanın bittiği yerdir. Bu sayfadaki değerler sayısal toplamlardan değil, alan formüllerinden gelir: $F(x) - F(a)$ , basamak fonksiyonu için parça parça. $e^{-t^2}$ için formül $\operatorname{erf}$ hata fonksiyonunu kullanır.

03

Nerede kullanılır?

Belirli integral hesabı: Riemann toplamlarının limitini almak yerine herhangi bir ilkel fonksiyonu bulun ve uç değerleri çıkarın.
Birikim: yer değiştirme hızın integralidir ve değişim hızı, hızın kendisidir. (Alınan yol, $|v|$ süratinin integralidir.)
Yeni fonksiyonlar tanımlama: $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ ve temel fonksiyonlarla formülü olmayan $\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x$ ; teorem yine de türevini $e^{-x^2}$ olarak verir.

04

Kontroller

$x$ değerini taşımak için herhangi bir grafikte, alt sınırı taşımak için üst eksendeki $a$ işaretinde sürükleyin. Limitler altında her birinin ince adımlar için çarkı ve yaygın değerler için tuşları vardır; değerler tam alınır (π, π kalır).
İnce şerit altında logaritmik sürgü $\Delta x$ genişliğini 1'den 0.0001'e indirir (yazarak 0.000001'e kadar). Kol şeridi $x$ sağına, soluna veya iki tarafına koyar. Δx → 0 şeridi her adımda on kat daraltır, adımlarda duraklar ve sonda kalır; orada basılınca 0.5'ten yeniden başlar.
Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar (Boşluk Δx → 0 işlemini çalıştırır, ↑ ↓ şeridi on kat genişletir veya daraltır, ← → $x$ değerini taşır, H $A$ grafiğinin soluk kalan kısmını, teğetini ve eğimini gizler).

05

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Fundamental theorem of calculus (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (İngilizce).