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미적분학 · 기본정리

미적분학의 기본정리

미적분학의 기본정리는 미분이 적분을 되돌린다고 말합니다. 연속인 f에 대해 넓이 함수 A(x)=∫axf(t) dtA(x) = \int_a^x f(t)\,dt의 기울기는 A′(x)=f(x)A'(x) = f(x)이므로, 모든 원시함수 F에 대해 ∫abf(t) dt=F(b)−F(a)\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)입니다.

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이 시각화에서 보는 미적분학의 기본정리

미적분학의 기본정리는 미분과 적분을 연결합니다. 첫 번째 정리에 따르면, aa를 포함하는 구간에서 ff가 연속이면 넓이 함수(누적 함수, 또는 상한이 변하는 적분)는 다음 성질을 가집니다.

제1정리
A(x)=∫axf(t) dt의 도함수는A′(x)=f(x).A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad\text{의 도함수는}\quad A'(x) = f(x)\text{.}

A(x)A(x)는 Φ(x)\Phi(x)로도 씁니다. 여기서 두 번째 정리가 나옵니다. FF가 ff의 원시함수이면 F−AF - A의 도함수가 0이므로 상수이며, 다음이 성립합니다.

제2정리
∫abf(t) dt=F(b)−F(a).\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a).

위 그래프는 ff이며, 칠한 영역은 적분 하한 aa에서 상한 x까지입니다. 아래 그래프는 같은 가로축에 그린 A입니다. xx에서 위쪽 파란 선분은 높이 f(x)입니다. ff가 xx에서 연속이면 아래쪽 파란 접선의 기울기는 정확히 이 값입니다. 두 그래프의 눈금이 같으므로 한 단위 이동에 따른 높이 변화가 같은 파란 선분이 됩니다. ff이 점프하는 곳에서는 접선이 없고, 양쪽 기울기를 점선으로 그립니다. xx 옆 폭 Δx인 얇은 띠에서 넓이는 ΔA≈f(x) Δx\Delta A \approx f(x)\,\Delta x만큼 증가하므로 ΔA/Δx→f(x)\Delta A / \Delta x \to f(x)입니다. 수치 막대는 이 몫을 보여 줍니다. 아래에는 그 몫을 기울기로 갖는 AA 위의 할선이 그려지며, Δx→0\Delta x \to 0이면 접선에 가까워집니다. ff가 점프하는 곳에서는 양쪽 띠가 아무리 얇아져도 각자의 높이를 유지합니다.

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올바르게 읽기

  • 넓이에는 부호가 있습니다. f<0f < 0인 영역은 음수로 계산되어 AA이 감소합니다. x<ax < a이면 적분 방향이 거꾸로여서 모든 부호가 뒤집힙니다. ff의 영점에서 부호가 바뀌면 AA의 극대점 또는 극소점이지만, 부호가 바뀌지 않는 영점에서는 그렇지 않습니다.
  • 정리를 적용하려면 ff가 xx에서 연속이어야 합니다. ff가 점프하면 AA은 연속이지만 꺾인 점이 생깁니다. 양쪽 기울기는 ff의 좌우 극한이며 A′(x)A'(x)는 존재하지 않습니다. 여기의 계단함수는 AA을 구간별로 적분하며, 점프를 가로질러 통하는 하나의 원시함수는 없습니다.
  • aa를 바꾸면 상수가 더해집니다. 즉, A(x)=F(x)−F(a)A(x) = F(x) - F(a)입니다. ff가 연속이면 모든 넓이 함수는 원시함수지만, 모든 원시함수가 넓이 함수인 것은 아닙니다. f=cos⁡f = \cos에서 sin⁡x+5\sin x + 5는 결코 ∫axcos⁡t dt\int_a^x \cos t\,dt가 될 수 없습니다. 그러려면 sin⁡a=−5\sin a = -5이어야 하기 때문입니다.
  • 문자 tt는 적분 변수일 뿐이고, xx은 넓이를 쌓는 끝점입니다. 이 페이지의 값은 수치 합이 아니라 넓이 공식 F(x)−F(a)F(x) - F(a)에서 구합니다. 계단함수는 구간별로 계산하며, e−t2e^{-t^2}에는 오차함수 erf⁡\operatorname{erf}를 씁니다.
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어디에 쓰일까요?

  • 정적분 계산: 리만 합의 극한을 구하는 대신 원시함수 하나를 찾아 양 끝값을 뺍니다.
  • 누적: 변위는 속도를 적분한 것이고, 그 변화율은 다시 속도입니다. 이동 거리는 속력 ∣v∣|v|의 적분입니다.
  • 새로운 함수의 정의: ln⁡x=∫1xdtt\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}와 ∫0xe−t2 dt=π2erf⁡x\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x이 그 예입니다. 후자는 초등함수 공식이 없지만, 이 정리로 도함수 e−x2e^{-x^2}를 알 수 있습니다.
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조작 방법

  • 어느 그래프든 드래그하여 xx를 움직이고, 위쪽 축의 aa 표시로 적분 하한을 움직이세요. 적분 구간 아래에는 각각 미세 조정 휠과 자주 쓰는 값 버튼이 있습니다. 버튼은 정확한 값으로 이동합니다. π는 그대로 π입니다.
  • 얇은 띠 아래 로그 슬라이더로 폭 Δx\Delta x를 1에서 0.0001까지 줄입니다. 직접 입력하면 0.000001까지 가능합니다. 레버로 띠를 xx의 오른쪽, 왼쪽 또는 양쪽에 놓습니다. Δx → 0은 단계마다 폭을 십분의 일로 줄이고 잠시 멈추며, 끝에서는 그대로 유지합니다. 끝에서 다시 누르면 0.5부터 시작합니다.
  • 발표 모드는 프로젝터용 전체 화면입니다. 스페이스로 Δx → 0 실행, ↑ ↓로 띠를 열 배 넓히거나 좁히기, ← →로 xx 이동, H로 AA의 희미한 나머지 부분과 접선·기울기 숨기기를 실행합니다.
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관련 개념

더 읽어 보기: Wikipedia: Fundamental theorem of calculus (영어); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (영어).