Основная теорема анализа: интерактивная визуализация

01

Основная теорема анализа в этой визуализации

Основная теорема анализа связывает производную и интеграл. Её первая часть утверждает: если $f$ непрерывна на интервале, содержащем $a$ , то функция площади (также называемая функцией накопления или интегралом с переменным верхним пределом)

Часть 1

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad\text{имеет}\quad A'(x) = f(x)\text{.}

$A(x)$ также записывается как $\Phi(x)$ . Отсюда следует вторая часть: если $F$ — любая первообразная $f$ , то производная $F - A$ равна 0, значит, эта разность постоянна, и

Часть 2

\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a).

Верхний график — $f$ ; закрашенная область идёт от нижнего предела $a$ до верхнего предела x. Нижний график — A, с той же горизонтальной осью. При $x$ синий отрезок сверху показывает высоту f(x). Если $f$ непрерывна в $x$ , синяя касательная снизу имеет ровно этот наклон: её подъём за единицу равен тому же синему отрезку, поскольку масштаб графиков одинаков. В точке скачка $f$ касательной нет; два односторонних наклона показаны пунктиром. На тонкой полоске шириной Δx рядом с $x$ площадь увеличивается на $\Delta A \approx f(x)\,\Delta x$ , поэтому $\Delta A / \Delta x \to f(x)$ : панель показывает это отношение, а снизу соответствующая секущая к $A$ , имеющая такой наклон, превращается в касательную при $\Delta x \to 0$ . В точке скачка $f$ каждая из двух полосок сохраняет свою высоту, как бы узка она ни была.

02

Как читать правильно

Площадь учитывает знак. При $f < 0$ область считается отрицательной, поэтому $A$ убывает; при $x < a$ интегрирование идёт в обратном направлении и все знаки меняются. Нуль $f$ со сменой знака даёт максимум или минимум $A$ ; нуль без смены знака — нет.
Теорема требует непрерывности $f$ в $x$ . В точке скачка $f$ функция $A$ остаётся непрерывной, но имеет угол: односторонние наклоны равны односторонним пределам $f$ , а $A'(x)$ не существует. Для здешней ступенчатой функции $A$ интегрируется отдельно на каждом участке; единой первообразной через скачок нет.
Изменение $a$ добавляет постоянную: $A(x) = F(x) - F(a)$ . Когда $f$ непрерывна, каждая функция площади является первообразной, но не всякая первообразная является функцией площади: для $f = \cos$ выражение $\sin x + 5$ никогда не равно $\int_a^x \cos t\,dt$ , поскольку для этого потребовалось бы $\sin a = -5$ .
Буква $t$ — только переменная интегрирования; $x$ задаёт конец области. Значения здесь получаются из формул площади — $F(x) - F(a)$ , по отдельным участкам для ступенчатой функции, — а не из численных сумм. Для $e^{-t^2}$ формула использует функцию ошибок $\operatorname{erf}$ .

03

Где это применяется

Вычисление определённых интегралов: найти любую первообразную и взять разность вместо предельного перехода в суммах Римана.
Накопление: перемещение — интеграл скорости, а скорость его изменения — сама скорость. (Пройденный путь — интеграл модуля скорости $|v|$ .)
Определение новых функций: $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ и $\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x$ , для которой нет формулы в элементарных функциях, — теорема всё равно даёт её производную $e^{-x^2}$ .

04

Управление

Перетаскивайте по любому графику, чтобы менять $x$ , а метку $a$ на верхней оси — чтобы менять нижний предел; в разделе Пределы интегрирования у каждого есть колесо для малых шагов и кнопки привычных значений, которые устанавливаются точно (π остаётся π).
В разделе Тонкая полоска логарифмический ползунок задаёт ширину $\Delta x$ от 1 до 0.0001 (вводом — до 0.000001), а переключатель ставит полоску справа от $x$ , слева или с обеих сторон. Δx → 0 сужает полоску в десять раз на каждом шаге, делая паузу, и останавливается в конце; повторное нажатие начинает с 0.5.
Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора (пробел запускает Δx → 0, ↑ ↓ расширяют или сужают полоску в десять раз, ← → перемещают $x$ , H скрывает бледную оставшуюся часть $A$ , её касательную и наклон).

05

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Fundamental theorem of calculus (Английский); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Английский).