Math

Математический анализ · Функция производной

Функция производной

Функция производной f′ задаёт при каждом x наклон касательной к графику f там, где этот наклон существует. Её график расположен под f: на интервале, где f′ положительна, f возрастает, где отрицательна — убывает; в вершине или впадине, где f дифференцируема, f′ равна 0.

01

Функция производной в этой визуализации

Функция производной для ff, обозначаемая f′(x)f'(x) (также y′y' или dydx\frac{dy}{dx}), ставит каждому xx в соответствие производную ff в нём: наклон касательной к графику при xx. Там, где такого наклона нет, f′f' не имеет значения. Здесь ff и f′f' нарисованы один под другим с одинаковым масштабом по xx, для восьми функций.

Функция производной
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Также записывается как f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} — производная в точке x0x_0; изменение x0x_0 даёт функцию производной, а aa на этой странице — это x0x_0. Синяя точка P лежит на ff при x=ax = a, вместе со своей касательной. У маленького треугольника под касательной горизонтальный шаг равен 1, поэтому его подъём равен наклону касательной. То же число со знаком изображено в масштабе нижнего графика жёлтым столбцом, заканчивающимся в (a,f′(a))(a, f'(a)). С движением aa эта точка идёт по графику f′; Прочертить рисует его слева направо.

Две строки между графиками — таблица знаков: верхняя показывает, возрастает (↗) или убывает (↘) ff, нижняя — знак f′f' (+ или −, с 0 там, где f′=0f' = 0, и «не сущ.» там, где f′f' не существует).

02

На что обратить внимание

  • На интервале, где f′>0f' > 0, ff возрастает; где f′<0f' < 0 — убывает. Обратное утверждение слабее: x3x^3 возрастает везде, но f′(0)=0f'(0) = 0. Вершина или впадина внутри интервала, в которой ff дифференцируема, удовлетворяет f′=0f' = 0; однако f′=0f' = 0 не гарантирует экстремум (снова x3x^3 в 0), а вершина или впадина может находиться там, где f′f' не существует, как в угловой точке ∣x∣|x|.
  • Там, где изгиб ff меняет направление (точка перегиба), а f′′f'' меняет знак, f′f' имеет локальный максимум или минимум. У sin⁡x\sin x точки перегиба лежат над вершинами и впадинами cos⁡x\cos x, где sin⁡x\sin x имеет наибольший по модулю наклон. Это верно не для каждого перегиба: у x3\sqrt[3]{x} он есть в 0, где касательная вертикальна и f′f' не имеет значения.
  • Нижний график показывает наклоны, а не значения ff: его высота при xx говорит, как быстро там меняется ff. У двух графиков свои вертикальные масштабы, чтобы каждый помещался.
  • В угловой точке ∣x∣|x| производная f′f' скачком меняется от −1-1 к 11, а f′(0)f'(0) не существует. В острие x2/3x^{2/3} производная f′f' стремится к −∞-\infty слева и +∞+\infty справа; у вертикальной касательной x3\sqrt[3]{x} — к +∞+\infty с обеих сторон. Все эти функции непрерывны в 0, но не дифференцируемы там.
  • exe^x — собственная производная: нижний график повторяет верхний.
03

Управление

  • Перетаскивайте P, точку на f′f' или в любом месте одного из графиков, чтобы менять aa; либо вращайте колёсико в разделе Точка и нажимайте ключевые точки. Прочертить проводит P от левого конца к правому, рисуя за ней f′f' и ненадолго останавливаясь в каждой вершине, впадине, точке перегиба и точке без f′f', когда её название загорается в таблице знаков; P остаётся справа. Экстремумы и перегибы проводит пунктирные направляющие через вершины, впадины и перегибы ff вниз через график f′f' и подписывает их в таблице знаков.
  • Режим презентации открывает полный экран для проектора (Пробел прочерчивает график, ← → двигают aa, H скрывает график f′f'; тогда он виден только там, где прошла P).
04

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Derivative (Английский); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.2 The Derivative as a Function (Английский).