Math

Cálculo · Función derivada

Función derivada

La función derivada f′ da, en cada x, la pendiente de la tangente a la gráfica de f, donde exista esa pendiente. Su gráfica está debajo de f: en un intervalo donde f′ es positiva, f crece; donde es negativa, f decrece; en un máximo o mínimo donde f sea derivable, f′ vale 0.

01

La función derivada en esta visualización

La función derivada de ff, escrita f′(x)f'(x) (también y′y' o dydx\frac{dy}{dx}), asigna a cada xx la derivada de ff en ese punto: la pendiente de la tangente a la gráfica en xx. Donde esa pendiente no existe, f′f' no tiene valor. Esta página dibuja ff y f′f' una sobre otra con la misma escala de xx, para ocho funciones.

Función derivada
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

También se escribe f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}, la derivada en un punto x0x_0; al variar x0x_0 se obtiene la función derivada, y el aa de esta página es x0x_0. El punto azul P está sobre ff en x=ax = a, con su tangente. El pequeño triángulo bajo la tangente tiene una base de 1, así que su altura es la pendiente de la tangente. Ese mismo número con signo se dibuja, a la escala propia de la gráfica inferior, como la barra amarilla que termina en el punto (a,f′(a))(a, f'(a)). Al mover aa, ese punto recorre la gráfica de f′; Trazar la dibuja de izquierda a derecha.

Las dos filas entre las gráficas forman una tabla de signos: la superior indica si ff crece (↗) o decrece (↘); la inferior da el signo de f′f' (+ o −, con 0 donde f′=0f' = 0 y «No existe» donde f′f' no existe).

02

En qué fijarse

  • En un intervalo donde f′>0f' > 0, ff crece; donde f′<0f' < 0, decrece. El recíproco es más débil: x3x^3 crece en todas partes, pero f′(0)=0f'(0) = 0. Un máximo o mínimo interior del intervalo donde ff sea derivable cumple f′=0f' = 0; pero f′=0f' = 0 no garantiza uno (de nuevo, x3x^3 en 0), y puede haber un máximo o mínimo donde f′f' no exista, como en el punto anguloso de ∣x∣|x|.
  • Donde la curvatura de ff cambia de sentido (un punto de inflexión) y f′′f'' cambia de signo, f′f' tiene un máximo o mínimo local. En sin⁡x\sin x, los puntos de inflexión están sobre los máximos y mínimos de cos⁡x\cos x, donde sin⁡x\sin x tiene su máxima inclinación. Esto no vale para todo punto de inflexión: x3\sqrt[3]{x} tiene uno en 0, donde su tangente es vertical y f′f' no tiene valor.
  • La gráfica inferior muestra pendientes, no valores de ff: su altura en xx indica con qué rapidez cambia ff allí. Las dos gráficas tienen sus propias escalas verticales, elegidas para que ambas quepan.
  • En el punto anguloso de ∣x∣|x|, f′f' salta de −1-1 a 11 y f′(0)f'(0) no existe. En la cúspide de x2/3x^{2/3}, f′f' tiende a −∞-\infty por la izquierda y a +∞+\infty por la derecha; en la tangente vertical de x3\sqrt[3]{x}, a +∞+\infty por ambos lados. Todas estas funciones son continuas en 0, pero no derivables allí.
  • exe^x es su propia derivada: la gráfica inferior repite la superior.
03

Controles

  • Arrastra P, el punto sobre f′f' o cualquier lugar de las dos gráficas para mover aa; también puedes girar la rueda de Punto y pulsar los puntos clave. Trazar lleva P del extremo izquierdo al derecho y dibuja f′f' a su paso, con breves pausas en cada máximo, mínimo, punto de inflexión y punto sin f′f', mientras su nombre se ilumina en la tabla de signos; P se queda en el extremo derecho. Extremos e inflexiones dibuja guías discontinuas por los máximos, mínimos y puntos de inflexión de ff, que bajan por la gráfica de f′f', y los nombra en la tabla de signos.
  • Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores (Espacio traza, ← → mueven aa y H oculta la gráfica de f′f', que entonces solo aparece donde ha pasado P).
04

Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Derivative (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.2 The Derivative as a Function (Inglés).