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미적분학 · 도함수

도함수

도함수 f′은 각 x에서 f의 그래프의 접선의 기울기를 주며, 그 기울기가 존재하는 곳에서만 정의됩니다. 그래프는 f 아래에 있습니다. f′이 양수인 구간에서는 f가 증가하고, 음수인 구간에서는 감소합니다. f가 미분 가능한 극대점이나 극소점에서는 f′이 0입니다.

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이 시각화에서 보는 도함수

ff의 도함수는 f′(x)f'(x)(또는 y′y', dydx\frac{dy}{dx})로 쓰며, 각 xx에 그 점에서 ff의 미분계수를 대응시킵니다. 즉, xx에서 그래프의 접선의 기울기입니다. 기울기가 존재하지 않는 곳에서는 f′f'의 값이 없습니다. 이 페이지는 여덟 함수에 대해 ff과 f′f'을 같은 xx 눈금으로 위아래에 그립니다.

도함수
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

점 x0x_0에서의 미분계수는 f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}로도 씁니다. x0x_0를 변화시키면 도함수가 되며, 이 페이지의 aa은 x0x_0입니다. 파란 점 P는 ff 위 x=ax = a에 있으며 접선이 그려져 있습니다. 접선 아래 작은 삼각형의 가로 길이는 1이므로 높이 변화가 곧 접선의 기울기입니다. 같은 부호 있는 수를 아래 그래프의 눈금으로 옮겨, 점 (a,f′(a))(a, f'(a))에서 끝나는 노란 막대로 표시합니다. aa가 움직이면 그 점은 f′의 그래프를 따라갑니다. 따라 그리기는 이를 왼쪽에서 오른쪽으로 그립니다.

두 그래프 사이의 두 줄은 부호표입니다. 위 줄은 ff의 증가(↗)·감소(↘)를, 아래 줄은 f′f'의 부호를 보여 줍니다. + 또는 −이며, f′=0f' = 0이면 0, f′f'이 존재하지 않으면 ‘없음’입니다.

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살펴볼 점

  • f′>0f' > 0인 구간에서 ff은 증가하고, f′<0f' < 0인 구간에서는 감소합니다. 역은 더 약합니다. x3x^3은 모든 곳에서 증가하지만 f′(0)=0f'(0) = 0입니다. 구간 내부의 극대점·극소점에서 ff가 미분 가능하면 f′=0f' = 0이지만, f′=0f' = 0만으로 극점을 보장하지는 않습니다(역시 0에서의 x3x^3). 또한 ∣x∣|x|의 꺾인 점처럼 f′f'가 존재하지 않는 곳에도 극대점·극소점이 있을 수 있습니다.
  • ff가 휘는 방향이 바뀌는 변곡점에서 f′′f''의 부호도 바뀌면, f′f'는 극댓값 또는 극솟값을 가집니다. sin⁡x\sin x의 변곡점은 cos⁡x\cos x의 극대점·극소점 위에 놓이며, 그곳에서 sin⁡x\sin x가 가장 가파릅니다. 모든 변곡점에서 그런 것은 아닙니다. x3\sqrt[3]{x}은 0에 변곡점이 있지만 접선이 수직이어서 f′f'의 값이 없습니다.
  • 아래 그래프는 ff의 값이 아니라 기울기를 보여 줍니다. xx에서의 높이는 그곳에서 ff가 얼마나 빨리 변하는지를 나타냅니다. 두 그래프의 세로 눈금은 각각 잘 들어맞도록 따로 정합니다.
  • ∣x∣|x|의 꺾인 점에서 f′f'은 −1-1에서 11으로 뛰며 f′(0)f'(0)는 존재하지 않습니다. x2/3x^{2/3}의 뾰족점에서 f′f'은 왼쪽에서 −∞-\infty, 오른쪽에서 +∞+\infty로 향합니다. x3\sqrt[3]{x}의 수직 접선에서는 양쪽 모두 +∞+\infty로 향합니다. 모두 0에서 연속이지만 그곳에서 미분 가능하지 않습니다.
  • exe^x는 자신의 도함수입니다. 아래 그래프가 위 그래프와 같습니다.
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조작 방법

  • P, f′f' 위의 점, 또는 어느 그래프의 빈 곳이든 드래그하여 aa를 움직이세요. 점 아래 휠이나 주요 지점 버튼도 사용할 수 있습니다. 따라 그리기는 P를 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝으로 움직이며 f′f'을 그립니다. 극대점, 극소점, 변곡점, f′f'가 없는 점마다 잠시 멈추고 부호표의 이름을 밝힙니다. 끝나면 P는 오른쪽 끝에 머뭅니다. 극점과 변곡점은 ff의 극대점·극소점·변곡점을 지나 f′f'의 그래프까지 점선 안내선을 그리고 부호표에 이름을 표시합니다.
  • 발표 모드는 프로젝터용 전체 화면입니다. 스페이스로 따라 그리기, ← →로 aa 이동, H로 f′f'의 그래프 숨기기를 실행합니다. 숨기면 P가 지나간 곳에만 나타납니다.
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관련 개념

더 읽어 보기: Wikipedia: Derivative (영어); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.2 The Derivative as a Function (영어).