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Cálculo · Função derivada

Função derivada

A função derivada f′ dá, em cada x, o declive da reta tangente ao gráfico de f, onde esse declive existe. O seu gráfico fica por baixo de f: num intervalo onde f′ é positiva, f cresce; onde é negativa, f decresce; num máximo ou mínimo em que f é diferenciável, f′ é 0.

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A função derivada nesta visualização

A função derivada de ff, escrita f′(x)f'(x) (também y′y' ou dydx\frac{dy}{dx}), associa a cada xx a derivada de ff nesse ponto: o declive da reta tangente ao gráfico em xx. Onde esse declive não existe, f′f' não tem valor. Esta página desenha ff e f′f' um por cima do outro, à mesma escala de xx, para oito funções.

Função derivada
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Também se escreve f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}, a derivada num ponto x0x_0; ao deixar x0x_0 variar, obtém-se a função derivada, e o aa desta página é x0x_0. O ponto azul P está em ff, para x=ax = a, com a sua reta tangente. O pequeno triângulo sob a tangente tem avanço horizontal de 1, pelo que a sua variação vertical é o declive da tangente. O mesmo número com sinal é representado, à escala própria do gráfico inferior, pela barra amarela que termina no ponto (a,f′(a))(a, f'(a)). À medida que aa se move, esse ponto percorre o gráfico de f′; Traçar desenha-o da esquerda para a direita.

As duas linhas entre os gráficos formam uma tabela de sinais: a superior indica se ff cresce (↗) ou decresce (↘); a inferior dá o sinal de f′f' (+ ou −, com 0 onde f′=0f' = 0 e NE onde f′f' não existe).

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O que observar

  • Num intervalo onde f′>0f' > 0, ff cresce; onde f′<0f' < 0, decresce. O recíproco é mais fraco: x3x^3 cresce em todo o domínio, mas f′(0)=0f'(0) = 0. Num máximo ou mínimo interior ao intervalo em que ff é diferenciável, tem-se f′=0f' = 0; mas f′=0f' = 0 não garante um extremo (novamente x3x^3 em 0), e um máximo ou mínimo pode ocorrer onde f′f' não existe, como no ponto anguloso de ∣x∣|x|.
  • Onde ff muda de concavidade (um ponto de inflexão) e f′′f'' muda de sinal, f′f' tem um máximo ou mínimo local. Em sin⁡x\sin x, os pontos de inflexão ficam sobre os máximos e mínimos de cos⁡x\cos x, onde sin⁡x\sin x tem maior inclinação. Isto não vale para todos os pontos de inflexão: x3\sqrt[3]{x} tem um em 0, onde a tangente é vertical e f′f' não tem valor.
  • O gráfico inferior mostra declives, não valores de ff: a sua altura em xx indica a rapidez com que ff varia aí. Os dois gráficos têm escalas verticais próprias, escolhidas para caberem no espaço disponível.
  • No ponto anguloso de ∣x∣|x|, f′f' salta de −1-1 para 11 e f′(0)f'(0) não existe. Na cúspide de x2/3x^{2/3}, f′f' tende para −∞-\infty pela esquerda e para +∞+\infty pela direita; na tangente vertical de x3\sqrt[3]{x}, tende para +∞+\infty dos dois lados. Cada uma destas funções é contínua em 0, mas não é diferenciável aí.
  • exe^x é a sua própria derivada: o gráfico inferior repete o superior.
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Controlos

  • Arraste P, o ponto em f′f', ou qualquer ponto de um dos gráficos para mover aa; ou rode a roda em Ponto e prima as teclas dos pontos-chave. Traçar leva P da extremidade esquerda à direita e desenha f′f' à sua passagem, parando brevemente em cada máximo, mínimo, ponto de inflexão e ponto onde f′f' não existe, enquanto o respetivo nome se ilumina na tabela de sinais; P fica na extremidade direita. Extremos e inflexões desenha guias tracejadas pelos máximos, mínimos e pontos de inflexão de ff, prolonga-as pelo gráfico de f′f' e identifica-os na tabela de sinais.
  • O Modo de apresentação abre uma vista de ecrã inteiro para projeção (Espaço traça, ← → movem aa, H oculta o gráfico de f′f'; este passa a aparecer apenas por onde P já passou).
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Relacionados

Para saber mais: Wikipédia: Derivative (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.2 The Derivative as a Function (Inglês).