Math

Diferansiyel ve integral hesap · Türev fonksiyonu

Türev fonksiyonu

Türev fonksiyonu f′, eğimin var olduğu her x'te f grafiğinin teğet doğrusunun eğimini verir. Grafiği f'nin altındadır: f′ pozitif olduğu aralıkta f artar, negatif olduğu aralıkta azalır; f'nin türevlenebilir olduğu tepe veya vadide f′ = 0 olur.

01

Bu görselleştirmede türev fonksiyonu

ff fonksiyonunun f′(x)f'(x) ile gösterilen (y′y' veya dydx\frac{dy}{dx} de yazılan) türev fonksiyonu, her xx değerine ff fonksiyonunun oradaki türevini atar: xx noktasındaki grafiğin teğet doğrusunun eğimini. Bu eğim yoksa f′f' değer almaz. Bu sayfa sekiz fonksiyon için ff ve f′f' grafiklerini aynı xx ölçeğinde alt alta çizer.

Türev fonksiyonu
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

x0x_0 noktasındaki türev f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} biçiminde de yazılır. x0x_0 değiştikçe türev fonksiyonu elde edilir; bu sayfadaki aa, x0x_0 demektir. Mavi P noktası ff üzerinde x=ax = a konumunda, teğet doğrusuyla birlikte durur. Teğetin altındaki küçük üçgenin yatay uzunluğu 1'dir; bu yüzden yükselmesi teğetin eğimidir. Aynı işaretli sayı, alt grafiğin kendi ölçeğinde (a,f′(a))(a, f'(a)) noktasında biten sarı çubuk olarak çizilir. aa hareket ettikçe nokta f′ grafiği boyunca ilerler; İz çiz onu soldan sağa çizer.

Grafikler arasındaki iki satır bir işaret tablosudur: üst satır ff fonksiyonunun arttığını (↗) veya azaldığını (↘), alt satır f′f' işaretini gösterir (+ veya −; f′=0f' = 0 olduğunda 0, f′f' olmadığında YOK).

02

Dikkat edilecekler

  • f′>0f' > 0 olan aralıkta ff artar; f′<0f' < 0 olan aralıkta azalır. Tersi daha zayıftır: x3x^3 her yerde artar, ama f′(0)=0f'(0) = 0 olur. Aralığın içindeki, ff fonksiyonunun türevlenebilir olduğu bir tepe veya vadide f′=0f' = 0 sağlanır. Ancak f′=0f' = 0 tek başına böyle bir nokta oluşturmaz (yine 0'da x3x^3); ∣x∣|x| köşesinde olduğu gibi, f′f' olmayan yerde de tepe veya vadi bulunabilir.
  • ff eğrisinin kıvrılma yönü değiştiğinde (büküm noktası) ve f′′f'' işaret değiştirdiğinde, f′f' yerel maksimum veya minimum alır. sin⁡x\sin x üzerinde büküm noktaları, sin⁡x\sin x en dikken cos⁡x\cos x tepelerinin ve vadilerinin üstünde bulunur. Bu her büküm noktası için doğru değildir: x3\sqrt[3]{x} fonksiyonunun 0'da bükümü vardır; orada teğeti dikeydir ve f′f' değer almaz.
  • Alt grafik ff değerlerini değil, eğimleri gösterir: xx konumundaki yüksekliği, ff fonksiyonunun orada ne kadar hızlı değiştiğini söyler. İki grafiğin, her biri sığacak şekilde seçilmiş ayrı düşey ölçekleri vardır.
  • ∣x∣|x| köşesinde f′f', −1-1 değerinden 11 değerine sıçrar ve f′(0)f'(0) yoktur. x2/3x^{2/3} sivri ucunda f′f', soldan −∞-\infty, sağdan +∞+\infty değerine gider; x3\sqrt[3]{x} dikey teğetinde ise iki taraftan da +∞+\infty değerine gider. Bu fonksiyonların her biri 0'da süreklidir, ama orada türevlenemez.
  • exe^x kendi türevidir: alt grafik üsttekini tekrarlar.
03

Kontroller

  • aa değerini taşımak için P noktasını, f′f' üzerindeki noktayı veya iki grafikten herhangi bir yeri sürükleyin; ya da Nokta altındaki çarkı çevirip önemli nokta tuşlarına basın. İz çiz, P'yi soldan sağa götürüp arkasında f′f' çizer; her tepe, vadi, büküm noktası ve f′f' olmayan noktada adı işaret tablosunda aydınlanırken kısaca durur. P sağ uçta kalır. Ekstremumlar ve büküm noktaları, ff tepelerinden, vadilerinden ve bükümlerinden f′f' grafiğine doğru kesikli kılavuzlar çizer; işaret tablosunda bunları adlandırır.
  • Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar (Boşluk iz çizer, ← → aa değerini taşır, H f′f' grafiğini gizler; sonra yalnızca P'nin geçtiği yerlerde görünür).
04

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Derivative (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.2 The Derivative as a Function (İngilizce).