Math

Diferansiyel ve integral hesap · Ortalama değer teoremi

Ortalama değer teoremi

f fonksiyonu [a, b] üzerinde sürekli, (a, b) üzerinde türevlenebilirse a ile b arasında bir c noktasındaki teğeti, uçlardan geçen kesene paraleldir: f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a).

01

Bu görselleştirmede ortalama değer teoremi

Lagrange'ın ortalama değer teoremi de denilen ortalama değer teoremi şunu söyler: ff fonksiyonu [a,b][a, b] kapalı aralığında sürekli, (a,b)(a, b) açık aralığında türevlenebilirse a<c<ba < c < b sağlayan en az bir cc noktası vardır ve

Ortalama değer teoremi
f′(c)=f(b)−f(a)b−a.f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Sol taraf cc noktasındaki teğetin eğimidir; sağ taraf (a,f(a))(a, f(a)) ve (b,f(b))(b, f(b)) noktalarından geçen kesenin eğimi, yani ff fonksiyonunun aralıktaki ortalama değişim hızıdır. Nokta ξ\xi ile de gösterilir. Rolle teoremi, kesenin yatay ve f′(c)=0f'(c) = 0 olduğu f(a)=f(b)f(a) = f(b) durumudur. Sayfa teoremi dört düzgün fonksiyonda ve varsayımları bozulabilen iki fonksiyonda gösterir: ∣x∣|x| köşesinde türevlenemez; sıçramayı içinde bulunduran bir aralıkta sıçrama fonksiyonu orada ne sürekli ne de türevlenebilirdir.

Mavi A ve B noktaları eğride aa ve bb üzerindedir. Onları sürükleyin veya tüm aralığı taşımak için x eksenindeki mavi parçayı kaydırın. İkisinden geçen sarı doğru kesendir; eğimine mm diyelim. Her mavi nokta bir cc noktasıdır: teğeti kesene paraleldir ve kesikli dikey çizgi onu kesene bağlar. ff düzgün olduğunda, eğrinin kesen üzerindeki yüksekliğinin türevi her cc noktasında sıfırdır (iki eğim orada aynıdır). Grafik altında eğim şeridi f′(x)f'(x) değerini mavi, mm kesen eğimini sarı yatay doğru olarak çizer: her cc bir kesişimdir. Yanıtlar gizliyken, cc noktasını kendiniz bulmak için eğri boyunca taşıyabileceğiniz bir teğet noktası belirir.

02

Teoremden çıkarılmaması gerekenler

  • Teorem tam bir değil, en az bir cc vaat eder: [−2,2][-2, 2] üzerinde x3−3xx^3 - 3x için iki, [−6,6][-6, 6] üzerinde sin⁡x\sin x için dört vardır. cc konumunu söylemez: dejenere olmayan ikinci derece fonksiyonda tek cc daima orta noktadır, ama başka fonksiyonlarda aralığın herhangi bir iç noktasında olabilir.
  • Türevlenebilirlik yalnızca aralığın içinde gereklidir. [0,4][0, 4] üzerinde x\sqrt{x}, 0'da dikey teğete sahiptir; yine de c=1c = 1 işe yarar.
  • Bir varsayım bozulduğunda teorem bir şey söylemez. [−1,2][-1, 2] üzerinde ∣x∣|x| için cc yoktur; [0.5,1.5][0.5, 1.5] üzerindeki sıçrama fonksiyonu için de yoktur. Yine de aynı sıçrama fonksiyonunun [0,2][0, 2] üzerinde tesadüfen c=1.5c = 1.5 noktası vardır.
  • Bu sayfadaki cc noktaları sayısal aramayla değil, her fonksiyon için f′(c)=f'(c) = kesen eğimi eşitliğinden tam çözülür.
03

Nerede kullanılır?

  • Ortalama sürat: araba 5 dakikada 10 km gider, ortalama 120 km/h. Alınan yol sürekli değişiyorsa ve bu 5 dakikanın her iç anında sürat olan türevi varsa, bir anda sürati tam 120 km/h olmuştur. Dolayısıyla kamerayla süre tutulan kesimde ortalaması sınırı aşan sürücü, bir anda sınırın üzerindeydi.
  • Aralıkta her yerde f′=0f' = 0 ise ff orada sabittir. Aynı türevli iki fonksiyon sabit kadar farklıdır; ilkel fonksiyonun + C+\,C içermesinin nedeni budur.
  • Tahminler: aralıkta ∣f′∣≤M|f'| \le M ise ∣f(b)−f(a)∣≤M ∣b−a∣|f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. Teorem, integral hesabın temel teoreminin kanıtında da bir adımdır.
04

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Mean value theorem (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 1, 4.4 The Mean Value Theorem (İngilizce).