Ortalama Değişim Hızı: Etkileşimli Görselleştirme

01

Bu görselleştirmede ortalama değişim hızı

Bir $f$ fonksiyonunun $[a, b]$ aralığındaki ortalama değişim hızı, değerindeki değişimin girdisindeki değişime bölümüdür: fark oranı $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Grafikte $(a, f(a))$ ve $(b, f(b))$ noktalarından geçen kesen doğrusunun eğimidir. Zamana göre alınan yol için ortalama sürattir. Bu sayfa beş fonksiyon için $[a, b]$ aralığını en fazla sekiz parçaya ayırır ve bütün ile parçalarını karşılaştırır.

[a, b] üzerindeki ortalama değişim hızı

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

$a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ bölme noktaları, genişlikleri $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ olan parçalar oluşturur. Her parçanın değişim hızı $m_i = \Delta y_i / \Delta x_i$ , ince sarı bir kirişin eğimidir. Grafiğin altında her parça bir sütundur: genişliği $\Delta x_i$ , yüksekliği $m_i$ , dolayısıyla işaretli alanı içinde yazan $\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i$ sayısıdır. Alanların toplamı $\Delta y$ olur; çünkü $\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1}))$ ifadesinde uçlar arasındaki her değer iki işaretle de birer kez görünür ve birbirini götürür. Toplam alanı $[a, b]$ boyunca eşit yaymak, $\Delta y / \Delta x$ yüksekliğindeki kesintisiz sarı çizgiyi verir: tüm aralıktaki değişim hızı, parça hızlarının genişliğe göre ağırlıklı ortalamasıdır. Kesikli çizgi, genişlikleri dikkate almayan $\frac{1}{n} \sum_i m_i$ basit ortalamalarıdır.

02

Dikkat edilecekler

Geniş sütunun ağırlığı daha fazladır. 60 km yolu 60 km/h ile gidip 60 km yolu 40 km/h ile dönmek 2.5 h sürer: daha yavaş bölüm daha uzun sürdüğünden ortalama sürat 50 değil, 120 ÷ 2.5 = 48 km/h olur. (Ortalama süratte alınan yol, ortalama hızda ise gidiş dönüşte 0 olan yer değiştirme süreye bölünür.) Eşit genişlikteki parçalarda iki çizgi daima çakışır; tüm parçaları aynı değişim hızına sahip doğrusal bir fonksiyonda olduğu gibi başka durumlarda da çakışabilirler.
Genişlikleri eşit $h$ olan parçalarda değişim hızları bir örüntü izler: doğrusal fonksiyonda eşittir; $ax^2 + bx + c$ için her biri öncekinden $2ah$ kadar farklıdır; $b^x$ için her biri öncekinin $b^h$ katıdır. Karşılaştır, komşu sütunların farklarını ve oranlarını yazar.
Ortalama değişim hızı, $f$ fonksiyonunun ortalama değeri değildir ve yalnızca uçlara bakar: $-x^2 + 4x$ , $[0, 4]$ üzerinde 4'e çıkıp geri döner; bu yüzden oradaki değişim hızı 0'dır. Tüm aralığın değişim hızı pozitifken bir parçanınki negatif olabilir.
Soldan sağa yükselen sütunlar, eğrinin her yerde değil, kirişlerin yukarı kıvrıldığını söyler: $x^2 + 0.1 \sin 2\pi x$ , 0, 1, 2, 3, 4 bölme noktalarında 1, 3, 5, 7 sütunlarını verir; yine de $f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95$ olan $x = \tfrac14$ noktasında aşağı kıvrılır.

03

Kontroller

Grafikte veya sütun kenarlarında a ve b uçlarını ya da bir bölme noktasını sürükleyin; ½'nin katlarına tutunurlar. Komşusunun üzerine sürüklenen bölme noktası onunla birleşir. Rakam çarkı parça sayısını ayarlar ve aralığı eşit böler; Eşitle mevcut parçaları eşitler; Bölme noktaları, 1, 2.5 veya 4/3 gibi tam değerleri alır.
Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar (← → parça sayısını değiştirir; H ortalama değişim hızını gizler).

04

İlgili konular

Ek okumalar: OpenStax, Precalculus 2e, 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (İngilizce); Vikipedi: Difference quotient (İngilizce).