Tasa de variación media: visualización interactiva

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La tasa de variación media en esta visualización

La tasa de variación media de una función $f$ en un intervalo $[a, b]$ es el cambio de su valor dividido entre el cambio de su entrada: el cociente incremental $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . En la gráfica es la pendiente de la secante que pasa por $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$ . Para una distancia recorrida a lo largo del tiempo, es la rapidez media. Esta página divide $[a, b]$ en un máximo de ocho tramos y compara el conjunto con sus partes para cinco funciones.

Tasa de variación media en [a, b]

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

Los cortes $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ crean tramos de anchuras $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ , cada uno con su tasa $m_i = \Delta y_i / \Delta x_i$ , la pendiente de una cuerda amarilla fina. Debajo de la gráfica, cada tramo es una barra: su anchura es $\Delta x_i$ y su altura es $m_i$ , así que su área con signo es $\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i$ , el número escrito dentro. Las áreas suman $\Delta y$ , porque en $\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1}))$ cada valor entre los extremos aparece una vez con cada signo y se anula. Repartir esa área total uniformemente sobre $[a, b]$ da la recta amarilla continua, a la altura $\Delta y / \Delta x$ : la tasa del intervalo completo es la media de las tasas de los tramos ponderada por la anchura. La línea discontinua es su media simple $\frac{1}{n} \sum_i m_i$ , que ignora las anchuras.

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En qué fijarse

Una barra más ancha pesa más. Recorrer 60 km a 60 km/h y volver 60 km a 40 km/h lleva 2.5 h: la rapidez media es 120 ÷ 2.5 = 48 km/h, no 50, porque el trayecto más lento dura más. (La rapidez media divide la distancia recorrida; la velocidad media divide el desplazamiento, que es 0 en una ida y vuelta). Con tramos de igual anchura, las dos rectas siempre coinciden; también pueden coincidir en otros casos, como en una función lineal, cuyos tramos comparten una misma tasa.
En tramos de igual anchura $h$ , las tasas siguen un patrón: para una función lineal son iguales; para $ax^2 + bx + c$ , cada una difiere de la anterior en $2ah$ ; para $b^x$ , cada una es $b^h$ veces la anterior. Comparar muestra las diferencias y los cocientes entre barras vecinas.
La tasa de variación media no es el valor medio de $f$ , y solo tiene en cuenta los extremos: $-x^2 + 4x$ sube hasta 4 en $[0, 4]$ y regresa, por lo que su tasa allí es 0. Una tasa total positiva permite que algún tramo tenga una negativa.
Que las barras crezcan de izquierda a derecha indica que las cuerdas se curvan hacia arriba, no que la curva lo haga en todas partes: $x^2 + 0.1 \sin 2\pi x$ da las barras 1, 3, 5, 7 con los cortes 0, 1, 2, 3, 4, pero se curva hacia abajo en $x = \tfrac14$ , donde $f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95$ .

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Controles

Arrastra los extremos a y b o un corte, en la gráfica o en los bordes de las barras; se ajustan a múltiplos de ½. Si arrastras un corte sobre el vecino, se fusionan. La rueda de dígitos fija el número de tramos y divide el intervalo por igual; Igualar iguala los tramos actuales; Cortes en acepta valores exactos, como 1, 2.5 o 4/3.
Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores (← → cambian el número de tramos; H oculta la tasa de variación media).

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Conceptos relacionados

Para saber más: OpenStax, Precalculus 2e, 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (Inglés); Wikipedia: Difference quotient (Inglés).