평균변화율: 인터랙티브 시각화

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이 시각화에서 보는 평균변화율

함수 $f$ 의 구간 $[a, b]$ 에서의 평균변화율은 함수값의 변화량을 입력값의 변화량으로 나눈 차분 몫 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 입니다. 그래프에서는 $(a, f(a))$ 와 $(b, f(b))$ 을 지나는 할선의 기울기입니다. 시간에 따른 이동 거리라면 평균 속력입니다. 이 페이지는 다섯 함수를 대상으로 $[a, b]$ 을 최대 여덟 조각으로 나누어 전체와 각 조각을 비교합니다.

[a, b]에서의 평균변화율

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

분할점 $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ 은 폭이 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ 인 조각들을 만듭니다. 각 조각의 변화율 $m_i = \Delta y_i / \Delta x_i$ 는 가느다란 노란 현의 기울기입니다. 그래프 아래에서 각 조각은 폭 $\Delta x_i$ , 높이 $m_i$ 인 막대가 되므로 부호 있는 넓이는 $\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i$ 이며, 그 수를 막대 안에 표시합니다. 넓이의 합은 $\Delta y$ 입니다. $\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1}))$ 에서 중간의 모든 값이 서로 반대 부호로 한 번씩 나타나 상쇄되기 때문입니다. 전체 넓이를 $[a, b]$ 에 고르게 펼치면 높이 $\Delta y / \Delta x$ 의 노란 실선이 됩니다. 즉, 전체 구간의 변화율은 각 조각의 변화율을 폭으로 가중한 평균입니다. 점선은 폭을 고려하지 않은 단순 평균 $\frac{1}{n} \sum_i m_i$ 입니다.

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살펴볼 점

폭이 넓은 막대에 더 큰 가중치가 주어집니다. 60 km를 60 km/h로 가고 60 km를 40 km/h로 돌아오면 2.5 h가 걸립니다. 느린 구간에서 더 오래 이동하므로 평균 속력은 50이 아니라 120 ÷ 2.5 = 48 km/h입니다. (평균 속력은 이동 거리를 시간으로 나누고, 평균 속도는 변위를 시간으로 나눕니다. 왕복 이동의 변위는 0입니다.) 조각의 폭이 같으면 두 선은 언제나 일치합니다. 폭이 달라도 일치할 수 있습니다. 모든 조각의 변화율이 같은 일차함수가 그 예입니다.
폭이 $h$ 로 같은 조각들의 변화율에는 규칙이 있습니다. 일차함수에서는 모두 같고, $ax^2 + bx + c$ 에서는 앞 조각과 $2ah$ 만큼 차이 나며, $b^x$ 에서는 앞 조각의 $b^h$ 배입니다. 비교를 누르면 이웃한 막대의 차이와 비가 표시됩니다.
평균변화율은 $f$ 의 평균값이 아니며 양 끝점만 봅니다. $-x^2 + 4x$ 은 $[0, 4]$ 에서 4까지 올라갔다 돌아오므로 그 구간의 변화율은 0입니다. 전체 변화율이 양수여도 변화율이 음수인 조각이 있을 수 있습니다.
막대가 왼쪽에서 오른쪽으로 높아진다는 것은 현들이 위로 휘어진다는 뜻이지, 곡선이 모든 곳에서 그렇게 휜다는 뜻은 아닙니다. $x^2 + 0.1 \sin 2\pi x$ 을 0, 1, 2, 3, 4에서 나누면 막대는 1, 3, 5, 7이지만, $f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95$ 인 $x = \tfrac14$ 에서는 아래로 휘어집니다.

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조작 방법

그래프나 막대 경계에서 끝점 a, b, 또는 분할점을 드래그하세요. ½의 배수에 맞춰 붙습니다. 분할점을 이웃한 점으로 옮기면 합쳐집니다. 숫자 휠은 조각 수를 정하고 구간을 등분합니다. 같은 폭은 현재 조각들의 폭을 같게 만들며, 분할점에는 1, 2.5, 4/3처럼 정확한 값을 입력할 수 있습니다.
발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다. ← →로 조각 수를 바꾸고 H로 평균변화율을 숨깁니다.

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이 시각화에서 보는 평균변화율

살펴볼 점

조작 방법

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