Taux de variation moyen : visualisation interactive

01

Le taux de variation moyen dans cette visualisation

Le taux de variation moyen d’une fonction $f$ sur un intervalle $[a, b]$ est la variation de sa valeur divisée par la variation de son argument : le quotient de différences $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Sur le graphique, c’est la pente de la sécante passant par $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ . Pour une distance parcourue en fonction du temps, c’est la vitesse moyenne. Cette page découpe $[a, b]$ en huit morceaux au maximum et compare le tout à ses morceaux, pour cinq fonctions.

Taux de variation moyen sur [a, b]

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

Les coupures $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ donnent des morceaux de largeurs $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ , chacun avec son taux $m_i = \Delta y_i / \Delta x_i$ , la pente d’une fine corde jaune. Sous la courbe, chaque morceau est une barre : sa largeur est $\Delta x_i$ , sa hauteur $m_i$ , donc son aire algébrique est $\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i$ , le nombre inscrit à l’intérieur. Les aires s’additionnent pour donner $\Delta y$ , car dans $\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1}))$ , chaque valeur intermédiaire apparaît une fois avec chaque signe et s’annule. Répartir cette aire totale uniformément sur $[a, b]$ donne la ligne jaune continue, à la hauteur $\Delta y / \Delta x$ : le taux sur l’intervalle entier est la moyenne des taux pondérée par les largeurs. La ligne en pointillés est leur moyenne simple $\frac{1}{n} \sum_i m_i$ , qui ne tient pas compte des largeurs.

02

À observer

Une barre large pèse davantage. Parcourir 60 km à 60 km/h puis revenir sur 60 km à 40 km/h prend 2.5 h : la vitesse moyenne vaut 120 ÷ 2.5 = 48 km/h, pas 50, car l’étape la plus lente dure plus longtemps. (La vitesse moyenne scalaire divise la distance parcourue ; la vitesse moyenne algébrique divise le déplacement, nul pour un aller-retour.) Avec des morceaux de même largeur, les deux lignes coïncident toujours ; elles peuvent aussi se rejoindre autrement, comme pour une fonction affine dont tous les morceaux ont le même taux.
Sur des morceaux de même largeur $h$ , les taux suivent une règle : pour une fonction affine, ils sont égaux ; pour $ax^2 + bx + c$ , chacun diffère du précédent de $2ah$ ; pour $b^x$ , chacun vaut $b^h$ fois le précédent. Comparer affiche les différences et les rapports entre barres voisines.
Le taux de variation moyen n’est pas la valeur moyenne de $f$ , et il ne dépend que des extrémités : $-x^2 + 4x$ monte jusqu’à 4 sur $[0, 4]$ puis revient, donc son taux y vaut 0. Un taux global positif n’empêche pas un morceau d’avoir un taux négatif.
Des barres croissantes de gauche à droite indiquent que les cordes se redressent, pas que la courbe est partout convexe : $x^2 + 0.1 \sin 2\pi x$ donne les barres 1, 3, 5, 7 aux coupures 0, 1, 2, 3, 4, mais la courbe est concave en $x = \tfrac14$ , où $f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95$ .

03

Commandes

Faites glisser les extrémités a et b ou une coupure, sur le graphique ou sur les bords des barres ; elles s’alignent sur les multiples de ½. Une coupure déplacée sur sa voisine fusionne avec elle. La roue numérique règle le nombre de morceaux et découpe l’intervalle régulièrement ; Égaliser égalise les morceaux actuels ; Coupures en accepte des valeurs exactes, comme 1, 2.5 ou 4/3.
Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection (← → modifient le nombre de morceaux ; H masque le taux de variation moyen).

04

Voir aussi

Pour aller plus loin: OpenStax, Precalculus 2e, 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (Anglais); Wikipédia: Difference quotient (Anglais).