Средняя скорость изменения: интерактивная визуализация

01

Средняя скорость изменения в этой визуализации

Средняя скорость изменения функции $f$ на интервале $[a, b]$ — изменение её значения, делённое на изменение аргумента: разностное отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . На графике это наклон секущей через $(a, f(a))$ и $(b, f(b))$ . Для пройденного пути в зависимости от времени это средняя путевая скорость. Здесь $[a, b]$ разбивается не более чем на восемь участков и сравнивается с ними для пяти функций.

Средняя скорость изменения на [a, b]

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sum_i \Delta x_i \, m_i}{\sum_i \Delta x_i}

Точки разбиения $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ образуют участки ширины $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ , каждый со своей скоростью изменения $m_i = \Delta y_i / \Delta x_i$ — наклоном тонкой жёлтой хорды. Под графиком каждый участок представлен столбцом: его ширина $\Delta x_i$ , высота $m_i$ , поэтому площадь со знаком равна $\Delta x_i \, m_i = \Delta y_i$ , числу внутри столбца. Сумма площадей равна $\Delta y$ , поскольку в $\sum_i (f(x_i) - f(x_{i-1}))$ каждое промежуточное значение встречается с обоими знаками и сокращается. Равномерное распределение этой общей площади по $[a, b]$ даёт сплошную жёлтую линию на высоте $\Delta y / \Delta x$ : скорость изменения на всём интервале — скорости участков, усреднённые с весами по ширине. Пунктирная линия — обычное среднее $\frac{1}{n} \sum_i m_i$ , которое не учитывает ширины.

02

На что обратить внимание

Широкий столбец весит больше. 60 км со скоростью 60 км/ч и 60 км обратно со скоростью 40 км/ч занимают 2.5 ч: средняя путевая скорость равна 120 ÷ 2.5 = 48 км/ч, а не 50, потому что медленный участок длится дольше. (Средняя путевая скорость делит пройденный путь на время; средняя скорость перемещения — перемещение, которое для пути туда и обратно равно 0.) При равной ширине участков линии всегда совпадают; они могут совпасть и в других случаях, например у линейной функции, где скорости изменения всех участков одинаковы.
На участках равной ширины $h$ скорости изменения следуют закономерности: у линейной функции они равны; у $ax^2 + bx + c$ каждая отличается от предыдущей на $2ah$ ; у $b^x$ каждая в $b^h$ раз больше предыдущей. Сравнить показывает разности и отношения соседних столбцов.
Средняя скорость изменения — не среднее значение $f$ ; она учитывает только концы: $-x^2 + 4x$ поднимается до 4 на $[0, 4]$ и возвращается, поэтому её скорость изменения там равна 0. Положительная скорость на всём интервале допускает участок с отрицательной.
Рост столбцов слева направо означает изгиб хорд вверх, но не обязательно изгиб самой кривой вверх везде: $x^2 + 0.1 \sin 2\pi x$ даёт столбцы 1, 3, 5, 7 при разбиении 0, 1, 2, 3, 4, но изгибается вниз при $x = \tfrac14$ , где $f'' = 2 - 0.4\pi^2 \approx -1.95$ .

03

Управление

Перетаскивайте концы a и b или точку разбиения на графике либо на краях столбцов; они притягиваются к кратным ½. При совмещении с соседней точкой разбиения точка сливается с ней. Цифровое колёсико задаёт число участков и делит интервал поровну; Поровну выравнивает существующие участки; Точки разбиения принимает точные значения, например 1, 2.5 или 4/3.
Режим презентации открывает полный экран для проектора (← → меняют число участков; H скрывает среднюю скорость изменения).

04

Связанные темы

Дополнительные материалы: OpenStax, Precalculus 2e, 1.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (Английский); Википедия: Difference quotient (Английский).