Сумма Римана: интерактивная визуализация

Сумма Римана в этой визуализации

Сумма Римана приближает интеграл функции $f$ по $[a, b]$ . Разбейте интервал на части $[x_{i-1}, x_i]$ , в каждой выберите точку $x_i^*$ и сложите $f(x_i^*)\,\Delta x_i$ . Здесь используются равные части в количестве $n$ , поэтому ширина каждой одинакова:

Сумма Римана

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

Общее определение допускает части разной ширины и любую выбранную точку в каждой; предел берётся при стремлении ширины самой большой части, $\lambda = \max \Delta x_i$ , к 0. Для равных частей, как здесь, $\lambda \to 0$ равносильно $n \to \infty$ .

Каждый жёлтый прямоугольник стоит на одной части интервала и достигает $f(x_i^*)$ , жёлтой точки на кривой. $S_n$ складывает их площади с учётом знака: прямоугольник под осью x считается отрицательным; он может выступать над кривой или не достигать её. Правило задаёт положение выбранной точки: левый конец $x_{i-1}$ , правый конец $x_i$ или середину. Сумма трапеций вместо этого соединяет $f(x_{i-1})$ и $f(x_i)$ хордой и равна среднему левой и правой сумм:

Сумма трапеций

T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

n → ∞ пошагово удваивает $n$ до $n = 256$ , и каждая часть делится надвое (если $n$ не является степенью двойки, первый шаг ведёт к следующей степени двойки). Для интегрируемой функции суммы приближаются к определённому интегралу, показанному синим:

Определённый интеграл

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

Интеграл здесь вычисляется точно по первообразной $F$ , а не по сумме с большим $n$ ; ошибка — это $S_n$ минус точное значение интеграла.

На что обратить внимание

Площадь учитывается со знаком. При $f < 0$ часть находится под осью x; она заштрихована и считается отрицательной. На $[0, 2\pi]$ две арки $\sin x$ взаимно компенсируются, и интеграл равен 0.
Для возрастающей функции левая сумма занижена, правая завышена; для убывающей — наоборот. Интеграл лежит между ними.
Скорость уменьшения ошибки зависит от правила. Для гладкой функции при больших $n$ ошибки левой и правой сумм ведут себя как $C/n$ , а ошибки среднего прямоугольника и трапеции — как $C/n^2$ . Поэтому со временем каждое удвоение уменьшает их вдвое или вчетверо. Вначале коэффициент может отличаться (1.6 для первых левых сумм $x^2$ на $[0, 1]$ ); если главный член сокращается, ошибка убывает быстрее: для $x^2$ на $[-1, 1]$ ошибки левой и правой сумм уже ведут себя как $1/n^2$ . Обе шкалы графика ошибок в полосе показаний логарифмические, поэтому коэффициент виден по наклону линии: это его логарифм по основанию 2; коэффициенту 2 соответствует наклон 1, коэффициенту 4 — наклон 2. Левые и правые суммы убывают полого, средние и трапеции — примерно вдвое круче, кроме случаев сокращения главного члена.
Ошибки среднего прямоугольника и трапеции обычно имеют противоположные знаки. Для $f(x) = x^2$ ошибка среднего прямоугольника равна ошибке трапеции, умноженной ровно на $-\tfrac12$ , при любом $n$ .
Определение интеграла допускает неравные части и любую выбранную точку в каждой. Показанные здесь равные части с фиксированным правилом — частный случай. При стремлении ширины самой большой части к 0 предел должен быть одинаковым для любого такого выбора.
Строго говоря, сумма трапеций не является суммой Римана (нет одной выбранной точки на часть). Но как среднее левой и правой сумм она имеет тот же предел. Методы прямоугольников и трапеций в численном интегрировании используют эти суммы.

Управление

Перетаскивайте пунктирные линии $x = a$ и $x = b$ или их отметки у нижнего края, вращайте два колёсика в разделе Интервал или вводите концы: распознаются π, 2π, π/2 и e. Кнопки под колёсиками задают точные значения.
Кнопки правил выбирают положение точки отсчёта; под каждой показаны сумма по этому правилу и её ошибка при текущем $n$ , чтобы сразу сравнить все четыре. График между суммой и интегралом показывает величину ошибки в зависимости от $n$ для всех четырёх правил.
Ручка задаёт $n$ из ряда 1, 2, 4 … 256, по одному положению на удвоение; клавиши со стрелками переводят её к следующему положению. Любое другое $n$ до 10 000 можно ввести. n → ∞ пошагово удваивает $n$ до 256 (сначала до следующей степени двойки) и останавливается; нажатие при 256 запускает заново с 1. Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора (Пробел запускает n → ∞, ← → делят n пополам и удваивают, H скрывает ответы).

Связанные темы

D18Основная теорема анализа
D01Предел
D34РядПланируется
E18Двойной интегралПланируется

Дополнительные материалы: Википедия: Riemann sum (Английский); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.1 Approximating Areas (Английский); OpenStax, Calculus Volume 2, 3.6 Numerical Integration (Английский).