Soma de Riemann: visualização interativa

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A soma de Riemann nesta visualização

Uma soma de Riemann aproxima o integral de $f$ em $[a, b]$ . Divida o intervalo em subintervalos $[x_{i-1}, x_i]$ , escolha um ponto de amostragem $x_i^*$ em cada um e some $f(x_i^*)\,\Delta x_i$ . Esta página usa $n$ subintervalos iguais, pelo que todas as partes têm a mesma largura:

Soma de Riemann

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

A definição geral permite subintervalos de larguras diferentes e qualquer ponto de amostragem em cada um, tomando o limite quando a largura do maior subintervalo, $\lambda = \max \Delta x_i$ , tende para 0; com subintervalos iguais, como aqui, $\lambda \to 0$ equivale a $n \to \infty$ .

Cada retângulo amarelo assenta num subintervalo e atinge $f(x_i^*)$ , o ponto amarelo na curva; $S_n$ soma as suas áreas com sinal, pelo que um retângulo abaixo do eixo x conta como negativo, e um retângulo pode ultrapassar a curva ou ficar aquém dela. A regra determina o ponto de amostragem: o extremo esquerdo $x_{i-1}$ , o extremo direito $x_i$ ou o ponto médio. A soma dos trapézios une antes $f(x_{i-1})$ e $f(x_i)$ por uma corda e é igual à média das somas à esquerda e à direita:

Soma dos trapézios

T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

n → ∞ duplica $n$ passo a passo até $n = 256$ , dividindo cada parte em duas (se $n$ não for uma potência de dois, o primeiro passo sobe até à potência de dois seguinte). Para uma função integrável, as somas aproximam-se do integral definido, mostrado a azul:

Integral definido

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

A página obtém o integral de uma primitiva $F$ , de forma exata, nunca de uma soma com $n$ grande; o erro é $S_n$ menos esse valor.

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O que observar

A área tem sinal. Onde $f < 0$ , a parte fica abaixo do eixo x; aparece tracejada e conta como negativa. Em $[0, 2\pi]$ , os dois arcos de $\sin x$ anulam-se, e o integral é 0.
Numa função crescente, a soma à esquerda é demasiado pequena e a soma à direita demasiado grande; numa função decrescente, acontece o contrário. O integral fica entre as duas.
A rapidez com que o erro diminui depende da regra. Para uma função suave e $n$ grande, os erros à esquerda e à direita comportam-se como $C/n$ , e os erros do ponto médio e do trapézio como $C/n^2$ ; assim, cada duplicação acaba por reduzi-los a metade ou a um quarto. No início, o fator pode ser diferente (1.6 nas primeiras somas à esquerda de $x^2$ em $[0, 1]$ ), e, quando o termo principal se anula, o erro diminui mais depressa: para $x^2$ em $[-1, 1]$ , os erros à esquerda e à direita já variam como $1/n^2$ . O gráfico do erro na barra de valores usa duas escalas logarítmicas, pelo que o fator se reflete na inclinação de cada linha: o seu logaritmo de base 2, inclinação de módulo 1 para um fator de 2 e de módulo 2 para um fator de 4. Esquerda e direita descem suavemente; ponto médio e trapézio, com cerca do dobro da inclinação, exceto quando o termo principal se anula.
Os erros do ponto médio e do trapézio têm, em geral, sinais opostos. Para $f(x) = x^2$ , o erro do ponto médio é exatamente $-\tfrac12$ do erro do trapézio, para todo o $n$ .
A definição do integral permite partes desiguais e qualquer ponto de amostragem em cada uma; partes iguais com uma regra fixa são o caso particular aqui desenhado. O limite deve ser o mesmo para todas essas escolhas quando a largura da maior parte tende para 0.
Em rigor, a soma dos trapézios não é uma soma de Riemann (não há um único ponto de amostragem por parte), mas, sendo a média das somas à esquerda e à direita, tem o mesmo limite. As regras dos retângulos e dos trapézios da integração numérica são estas somas.

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Controlos

Arraste as linhas pontilhadas $x = a$ e $x = b$ , ou as suas marcas na margem inferior, rode os dois seletores em Intervalo ou introduza os extremos: π, 2π, π/2 e e são reconhecidos. As teclas por baixo dos seletores colocam-nos em valores exatos.
As teclas de regra escolhem o ponto de amostragem; por baixo de cada uma aparecem a soma e o erro dessa regra para o $n$ atual, permitindo comparar as quatro de relance. O gráfico entre a soma e o integral mostra o módulo do erro em função de $n$ para as quatro regras.
O botão rotativo define $n$ como 1, 2, 4 … 256, uma posição por duplicação; as suas setas avançam para a posição seguinte. Pode introduzir qualquer outro $n$ até 10 000. n → ∞ duplica $n$ passo a passo até 256 (primeiro até à potência de dois seguinte) e para aí; se for premido em 256, recomeça em 1. O modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores (Espaço executa n → ∞, ← → reduzem n a metade ou duplicam-no, e H oculta as respostas).

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Para saber mais: Wikipédia: Riemann sum (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.1 Approximating Areas (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 2, 3.6 Numerical Integration (Inglês).