Jumlah Riemann: Visualisasi Interaktif

01

Jumlah Riemann dalam visualisasi ini

Jumlah Riemann mendekati integral $f$ pada $[a, b]$ . Bagi interval menjadi subinterval $[x_{i-1}, x_i]$ , pilih titik sampel $x_i^*$ pada masing-masing, lalu jumlahkan $f(x_i^*)\,\Delta x_i$ . Halaman ini memakai $n$ subinterval sama lebar, jadi setiap bagian memiliki lebar sama:

Jumlah Riemann

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

Definisi umum memperbolehkan subinterval berbeda lebar dan sembarang titik sampel di dalamnya, lalu mengambil limit saat subinterval terlebar, $\lambda = \max \Delta x_i$ , menuju 0; dengan subinterval sama lebar seperti di sini, $\lambda \to 0$ sama dengan $n \to \infty$ .

Setiap persegi panjang kuning berdiri pada satu subinterval dan mencapai $f(x_i^*)$ , titik kuning pada kurva; $S_n$ menjumlahkan luas bertandanya, jadi persegi panjang di bawah sumbu x dihitung negatif, dan persegi panjang dapat menonjol di atas kurva atau berada di bawahnya. Aturan menentukan tempat titik sampel: ujung kiri $x_{i-1}$ , ujung kanan $x_i$ , atau titik tengah. Sebagai gantinya, jumlah trapesium menghubungkan $f(x_{i-1})$ dan $f(x_i)$ dengan tali busur, dan sama dengan rata-rata jumlah kiri dan kanan:

Jumlah trapesium

T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

n → ∞ menggandakan $n$ langkah demi langkah hingga $n = 256$ , sehingga setiap bagian terbelah dua (dari $n$ yang bukan pangkat dua, langkah pertama menuju pangkat dua berikutnya). Untuk fungsi yang dapat diintegralkan, jumlah mendekati integral tentu, yang ditampilkan biru:

Integral tentu

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

Halaman ini mengambil integral dari antiturunan $F$ , secara eksak, bukan dari jumlah dengan $n$ besar; galatnya adalah $S_n$ dikurangi nilai itu.

02

Hal yang perlu diperhatikan

Luas memiliki tanda. Saat $f < 0$ , suatu bagian menggantung di bawah sumbu x; diberi arsiran garis dan dihitung negatif. Pada $[0, 2\pi]$ , dua lengkungan $\sin x$ saling meniadakan, dan integralnya 0.
Untuk fungsi yang meningkat, jumlah kiri terlalu kecil dan jumlah kanan terlalu besar; untuk fungsi menurun sebaliknya. Integral berada di antara keduanya.
Kecepatan penyusutan galat bergantung pada aturan. Untuk fungsi mulus dan $n$ besar, galat kiri dan kanan berperilaku seperti $C/n$ , sedangkan galat titik tengah dan trapesium seperti $C/n^2$ , sehingga akhirnya setiap penggandaan mengurangi galat menjadi separuh atau seperempat. Di awal faktornya dapat berbeda (1.6 untuk jumlah kiri pertama $x^2$ pada $[0, 1]$ ), dan saat suku utama saling meniadakan, galat turun lebih cepat: untuk $x^2$ pada $[-1, 1]$ , galat kiri dan kanan sudah seperti $1/n^2$ . Grafik galat pada batang bacaan memakai dua skala logaritmik, sehingga faktor terlihat sebagai kemiringan tiap garis: logaritma basis 2-nya, kemiringan 1 untuk faktor 2 dan kemiringan 2 untuk faktor 4. Kiri dan kanan turun landai, titik tengah dan trapesium sekitar dua kali lebih curam, kecuali saat suku utama saling meniadakan.
Galat titik tengah dan trapesium biasanya bertanda berlawanan. Untuk $f(x) = x^2$ , galat titik tengah tepat $-\tfrac12$ galat trapesium, untuk setiap $n$ .
Definisi integral memperbolehkan bagian yang tidak sama lebar dan sembarang titik sampel di dalamnya; bagian sama lebar dengan aturan tetap adalah kasus khusus yang digambar di sini. Limit harus sama untuk setiap pilihan demikian saat bagian terlebar menyusut ke 0.
Secara ketat, jumlah trapesium bukan jumlah Riemann (tidak ada satu titik sampel per bagian), tetapi sebagai rata-rata jumlah kiri dan kanan, limitnya sama. Aturan persegi panjang dan trapesium dalam integrasi numerik adalah jumlah-jumlah ini.

03

Kontrol

Seret garis titik-titik $x = a$ dan $x = b$ , atau tandanya pada tepi bawah, putar dua roda di bawah Interval, atau ketik titik ujung: π, 2π, π/2, dan e dikenali. Tombol di bawah roda menetapkannya ke nilai eksak.
Tombol aturan memilih tempat titik sampel; di bawah setiap tombol tertulis jumlah dan galat aturan itu pada $n$ saat ini, sehingga keempatnya dapat dibandingkan sekilas. Grafik di antara jumlah dan integral menunjukkan besar galat terhadap $n$ untuk keempat aturan.
Kenop menetapkan $n$ ke 1, 2, 4 … 256, satu posisi per penggandaan; tombol panahnya menuju posisi berikutnya. $n$ lain hingga 10 000 dapat diketik. n → ∞ menggandakan $n$ langkah demi langkah hingga 256 (pertama ke pangkat dua berikutnya) dan tetap di sana; jika ditekan pada 256, dimulai lagi dari 1. Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor (Spasi menjalankan n → ∞, ← → membagi dua dan menggandakan n, H menyembunyikan jawaban).

04

Terkait

D18Teorema dasar kalkulus
D01Limit
D34DeretDirencanakan
E18Integral gandaDirencanakan

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Riemann sum (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.1 Approximating Areas (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 2, 3.6 Numerical Integration (Bahasa Inggris).