Teorema Dasar Kalkulus: Visualisasi Interaktif

01

Teorema dasar kalkulus dalam visualisasi ini

Teorema dasar kalkulus menghubungkan turunan dan integral. Bagian pertamanya menyatakan bahwa jika $f$ kontinu pada interval yang memuat $a$ , fungsi luas (juga disebut fungsi akumulasi, atau integral dengan batas atas variabel)

Bagian 1

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad\text{memiliki}\quad A'(x) = f(x)\text{.}

$A(x)$ juga ditulis $\Phi(x)$ . Bagian keduanya mengikuti: jika $F$ adalah sembarang antiturunan $f$ , maka $F - A$ memiliki turunan 0, sehingga konstan, dan

Bagian 2

\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a).

Grafik atas adalah $f$ ; daerah berarsir membentang dari batas bawah $a$ ke batas atas x. Grafik bawah adalah A, digambar pada sumbu horizontal yang sama. Di $x$ , ruas biru di atas adalah tinggi f(x). Saat $f$ kontinu di $x$ , garis singgung biru di bawah memiliki kemiringan tepat sebesar itu: kenaikannya per satu satuan adalah ruas biru yang sama, karena kedua grafik memakai skala sama. Saat $f$ melompat, tidak ada garis singgung; kedua kemiringan satu sisi digambar putus-putus. Pada pita tipis selebar Δx di samping $x$ , luas bertambah sebesar $\Delta A \approx f(x)\,\Delta x$ , jadi $\Delta A / \Delta x \to f(x)$ : batang bacaan menampilkan hasil bagi ini, dan di bawah, garis sekan pita pada $A$ , yang memiliki kemiringan itu, berubah menjadi garis singgung saat $\Delta x \to 0$ . Saat $f$ melompat, pita pada masing-masing sisi mempertahankan tingginya sendiri setipis apa pun.

02

Cara membaca dengan benar

Luas memiliki tanda. Saat $f < 0$ , daerah dihitung negatif, sehingga $A$ turun; saat $x < a$ , integral berjalan mundur dan setiap tanda berbalik. Nol $f$ tempat tandanya berubah adalah puncak atau lembah $A$ ; nol tanpa perubahan tanda bukan demikian.
Teorema memerlukan $f$ kontinu di $x$ . Saat $f$ melompat, $A$ tetap kontinu tetapi memiliki titik sudut: kemiringan satu sisinya adalah limit satu sisi $f$ , dan $A'(x)$ tidak ada. Untuk fungsi tangga di sini, $A$ diintegralkan bagian demi bagian; tidak ada satu antiturunan yang berlaku melintasi lompatan.
Mengubah $a$ menambahkan konstanta: $A(x) = F(x) - F(a)$ . Saat $f$ kontinu, setiap fungsi luas adalah antiturunan, tetapi tidak setiap antiturunan merupakan fungsi luas: untuk $f = \cos$ , $\sin x + 5$ tidak pernah sama dengan $\int_a^x \cos t\,dt$ , karena itu memerlukan $\sin a = -5$ .
Huruf $t$ hanyalah variabel integrasi; $x$ adalah tempat luas berhenti. Nilai pada halaman ini berasal dari rumus luas — $F(x) - F(a)$ , bagian demi bagian untuk fungsi tangga — bukan dari penjumlahan numerik. Untuk $e^{-t^2}$ , rumusnya memakai fungsi galat $\operatorname{erf}$ .

03

Penerapannya

Menghitung integral tentu: cari sembarang antiturunan lalu kurangkan, alih-alih mengambil limit jumlah Riemann.
Akumulasi: perpindahan adalah integral kecepatan, dan laju perubahannya adalah kecepatan itu sendiri. (Jarak tempuh adalah integral kelajuan $|v|$ .)
Mendefinisikan fungsi baru: $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ , dan $\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x$ , yang tidak memiliki rumus dalam fungsi elementer — teorema tetap memberikan turunannya, $e^{-x^2}$ .

04

Kontrol

Seret pada salah satu grafik untuk menggeser $x$ , dan tanda $a$ pada sumbu atas untuk menggeser batas bawah; di bawah Batas integral, masing-masing memiliki roda untuk langkah halus dan tombol untuk nilai umum yang menghasilkan nilai eksak (π tetap π).
Di bawah Pita tipis, penggeser logaritmik mengatur lebar $\Delta x$ dari 1 hingga 0.0001 (dapat diketik hingga 0.000001), dan tuas menempatkan pita di kanan $x$ , di kirinya, atau di kedua sisi. Δx → 0 membuat pita sepuluh kali lebih sempit pada tiap langkah, berhenti sejenak setiap langkah, lalu tetap di ujung; jika ditekan di sana, proses dimulai kembali dari 0.5.
Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor (Spasi menjalankan Δx → 0, ↑ ↓ membuat pita sepuluh kali lebih lebar atau sempit, ← → menggeser $x$ , H menyembunyikan bagian samar $A$ yang tersisa, garis singgungnya, dan kemiringannya).

05

Terkait

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Fundamental theorem of calculus (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Bahasa Inggris).